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2021 上智大学 TEAP理系

2月2日実施

易□ 並□ 難□

【1】(1) ある病原菌の検査薬は,病原菌に感染しているのに誤って陰性と判断する確率が 20 % 感染していないのに誤って陽性と判断する確率が 10 % である.全体の 20 % がこの病原菌に感染している集団から 1 つの検体を取り出して,独立に2回,検査薬で検査する.このとき, 2 回とも陰性であったが,実際には感染している確率は であり,少なくとも 1 回は陽性であったが,実際には病原菌には感染していない確率は である.

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【1】(2)  n 20 以上の整数とする. n 進法で表したとき, n3 の位の数が 1 n2 の位の数が 2 n1 の位の数が 3 n0 の位の数が 0 である数 1230 (n) n+ 1 進法で表すと, (n+ 1)2 の位の数は であり, (n+ 1)1 の位の数は であり, (n+1 )0 の位の数は である.

の選択肢:

(a)  0 (b)  1 (c)  2 (d)  3
(e)  n-3 (f)  n-2 (g)  n-1 (h)  n

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【1】(3) 不等式

1z4 x2 z2 +4z4 y2 1

が表す座標空間内の領域の体積は である.

の選択肢:

(a)  3 π2 (b)  3π (c)  3 π22 (d)  3π2
(e)  πlog2 (f)  π log22 (g)  π2 log2 (h)  3π2 log2

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【2】 実数からなる集合 A B C を次のように定義する.

A={x ||x |<a}

B={x |(x +2) (x-5 )( x2+2x -7)0 }

C={x |3x 31 3( x+4) }

 ただし, a は実数で a>0 とする.

(1)  AB が空集合であるための必要十分条件は a α である.

(2)  AB であるための必要十分条件は a β である.

の選択肢:

(a)  = (b)  < (c)  (d)  > (e)  (f) 

α β の選択肢:

(a)  1 (b)  2 (c)  3 (d)  5 (e)  7 (f)  10
(g)  -1+2 2 (h)  1+2 2 (1)  -2+7 (j)  2+7

(3)  -1 C であり, 5 C である.

の選択肢:

(a)  (b)  (c)  (s)  (e)  = (f)  (g) 

(4)  C に属する整数は 個ある.

(5)  AC となる a のうち,整数で最大のものは である.

(6)  AC となる a のうち,整数で最小のものは である.

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【3】 南北方向に m 区画,東西方向に n 区画に区切られた長方形の土地がある.この土地のそれぞれの区画に m 種類の作物を 1 種類ずつ植える.ただし,南北方向には同じ種類の作物が植えられている区画はないようにする.このとき,東西方向に隣り合う区画に同じ種類の作物が植えられている場合には,それらの区画は連結した 1 個の畑と見なすとする.例えば,南北方向に 3 区画,東西方向に 5 区画で, A B C 3 種類の作物を次のように植えた場合,畑が 11 個と見なす.

A C B
B A B C
C A B A

(1)  m=3 のときを考える. n=1 ならば,畑の数は常に 3 個で, 1 通りある. n=2 ならば,畑の数は 3 個, 5 個, 6 個のいずれかで, 3 通りある. n=3 ならば,畑の数は 通りある. n=10 ならば,畑の数は 通りある.

(2)  m=3 n=3 のとき,畑の数が 8 個になる植え方は 通りである.

(3)  m=6 のときを考える.各列の南北方向の 6 区画に作物を植える植え方は 6! 通りあるが,それらすべてが等確率になるように植えることにする. n=2 のとき,畑が 8 個である確率は であり,畑が 9 個である確率は であり,畑が 10 個である確率は である. n=3 のとき,畑が 10 個である確率を p とすると である.

の選択肢:

(a)  p1 100 (b)  1200 p< 1100
(c)  1500 p< 1200 (d)  11000 p< 1500
(e)  12000 p< 11000 (f)  15000 p< 12000
(g)  110000 p< 15000 (h)  p<1 10000


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【4】  0 を原点とする座標平面において,楕円 D x2 6+ y22 =1 上に異なる 2 P 1 P2 がある. P1 における接線 l1 P2 における接線 l2 の交点を Q (a, b) とし,線分 P 1P2 の中点を R とする.

(1)  P1 の座標を (x 1,y1 ) とするとき, l1 の方程式は

x1x + y1y + =0

と表される.

(2) 直線 P1 P2 の方程式は, a b を用いて,

ax+ by+ =0

と表される.

(3)  3 O R Q は一直線上にあって,

OR= a2+ b2 OQ

が成り立つ.

(4)  l1 l2 のどちらも y 軸と平行ではないとする.このとき, l1 の傾きと l2 の傾きは t の方程式

(a2 + )t 2+ abt+ (b2+ ) =0

の解である.

(5)  l1 l2 が直交しながら P 1 P2 が動くとする.

(ⅰ)  Q の軌跡の方程式を求めよ.

(ⅱ)  R y 座標の最大値を求めよ.

(ⅲ)  R の軌跡の概形を描け.

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