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2021 上智大学 経済学部

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2月5日実施

易□ 並□ 難□

【1】 次の問いに答えよ.

(1) 正の整数 n に対して, 2021! 43n で割り切れるとき,最大の n である.

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【 1】 次の問いに答えよ.

(2) 点 P は円 x2 +y2=9 上にある.点 P A (-2, 1) B (-1, 0) を頂点とする ▵PAB の面積を最大とする点 P の座標は ( , ) である.このとき, ▵PAB の面積は + である.

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【1】 次の問いに答えよ.

(3) 実数 x y x1 y1 であり, (log9 x) (log4 y)=4 を満たす. log3 x+log2 y は, x= y= のとき,最小値 をとる.

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【1】 次の問いに答えよ.

(4) 区間 0x π において,以下の 2 つの関数

f(x )=-sin 2x+cos x+a+1

g(x )=-cos 2x+2 a

を考える.ただし, a は実数の定数である. には選択肢(A)〜(F)の中から正しいものをマークせよ.ただし,該当するものがない場合にはZをマークせよ.

(ⅰ) 上の区間に属するある x に対して, f(x )g (x) となるための必要十分条件は, a a を満たすことである.

(ⅱ) 上の区間に属するすべての x1 x2 に対して, f( x1) g(x 2) となるための必要十分条件は, a a を満たすことである.

の選択肢:

(A)  = (B)  < (C)  (D)  > (E)  (F) 

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【2】  xy 平面上の x 座標も y 座標も整数である点を格子点とよぶ. x0 かつ y0 の表す領域にある格子点に次の規則で 1 個ずつ石をおいていく.ただし, 1 つの格子点には 2 個以上の石をおくことはできない.

(ⅰ) 最初に原点 (0 ,0) に石をおく.

(ⅱ)(a)  x 軸上の格子点にはその 1 つ左の格子点に石がある場合に,石をおくことができる.

(b)  y 軸上の格子点にはその 1 つ下の格子点に石がある場合に,石をおくことができる.

(c)  x 軸上にもなく, y 軸上にもない格子点にはその 1 つ下と 1 つ左の格子点の両方に石がある場合に,石をおくことができる.

(ⅲ) 石をおくことができる格子点が複数ある場合は,等しい確率で格子点を 1 つ選び,石をおく.

例えば,石を 3 個おくとき, x 軸上に石が 3 個とも並ぶ確率は 1 4 である.また, 3 ( 0,0) (1,0 ) (0,1 ) に石がおかれる確率は 12 である.

(1) 石を 4 個おくとき, 4 (0 ,0) (1,0 ) (2,0 ) (0,1 ) に石がおかれる確率は である.

a b を正の整数とする.石を ( a+b+1 ) 個おくとき,原点 ( 0,0) x 軸上の格子点 ( 1,0) (2,0 ) (a,0 ) y 軸上の格子点 (0 ,1) (0,2 ) (0,b ) にのみ石がおかれる確率を Pa, b とする.また, Pa,0 は格子点 (0 ,0) (1.0 ) (2.0 ) (a.0 ) にのみ石がおかれる確率とする.(1)の確率は P2 ,1 である.

(2)  a2 b2 とすると,

Pa.b = Pa1, b+ Pa, b1

が成り立つ.

 また, a2 とすると,

Pa.1 = P n1,1 + Pa,0

が成り立つ.

(3)  a1 のとき, Pa,0 =( )a であり,

Pa,1 = ( )a+ ( )a

である.ただし, < とする.

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【3】  xy 平面上の 2 つの放物線

C1y =3x2 -4x+2

C2x =13 y2

がある. C2 y= 13 x2 のグラフと直線 y=x に関して対称である.

(1)  C1 C2 の交点のうち, x 座標が最も小さい点を P とする.このとき, P の座標は ( , ) である.

(2)  C1 C2 で囲まれた部分 D の面積 S を求めよ.解答は記述式解答欄に記入すること.

(3)  P を通る直線 l D 2 つの部分に分割するとき,直線 l C1 で囲まれた部分の面積は, S 1 30 倍である.このとき,直線 l の方程式は

y= x+

である.

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