2021　上智大学　理工学部2月7日実施MathJax

【１】　媒介変数表示

$x={\displaystyle \frac{2}{\cos \theta }}\text{，}$$y=3\tan \theta +1$

で表される図形$C$を考える．

(1)　$C$は，頂点$(\pm \text{ア},\text{イ})\text{，}$焦点$(\pm \sqrt{\text{ウ}},\text{エ})\text{，}$漸近線$y=\pm {\displaystyle \frac{\text{オ}}{\text{カ}}}x+\text{キ}$をもつ双曲線である．

(2)　双曲線$C$と直線$x=4$は，$2$点$(4,\text{ク}\pm \text{ケ}\sqrt{\text{コ}})$で交わる．

(3)　双曲線$C$と直線$x=4$で囲まれる部分を$y$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積は$\text{サ}\sqrt{\text{シ}}\pi$である．

【２】(1)　実数全体で定義され，実数の値をとる関数$f(x)$に対する次の条件$p$を考える．

$p$：「$K$以上のすべての実数$x$に対して$f(x)\geqq 1$」が成り立つような実数$K$が存在する

(ⅰ)　次に挙げた関数(a)〜(d)のそれぞれについて，$p$を満たすならばoを，$p$を満たさないならばxを，マークせよ．

(a)　$f(x)=x{e}^{-x}$

(b)　$f(x)={\displaystyle \frac{2x^2+1}{x^2+1}}$

(c)　$f(x)=x+\sin x$

(d)　$f(x)=x\sin x$

(ⅱ)　次の条件が$p$の否定になるように，$\text{あ}\text{〜}$$\text{え}$のそれぞれの選択肢から，あてはまるものを選べ．

・「$\text{あ}\text{い}$実数$x$に対して$\text{う}$」が$\text{え}$

(ⅲ)　関数$f(x)$に対して，$g(x)=2f(x)$で関数$g(x)$を定める．次に挙げた命題(A)〜(D)のそれぞれについて，正しければoを，正しくなければxを，マークせよ．

(A)　$f(x)$が$p$を満たすならば，$g(x)$も$p$を満たす．

(B)　$g(x)$が$p$を満たすならば，$f(x)$も$p$を満たす．

(C)　$f(x)$が$p$を満たさないならば，$g(x)$も$p$を満たさない．

(D)　$f(x)$が$p$を満たさないならば，$g(x)$は$p$を満たす．

【２】(2)　(ⅰ)　不等式

${\displaystyle \frac{k-1}{k}}<{\log }_{10}7<{\displaystyle \frac{k}{k+1}}$

を満たす自然数$k$は$\text{ス}$である．

(ⅱ)　$7^{35}$は$\text{セ}$$\stackrel{\text{けた}}{\text{桁}}$の整数である．

【３】　$i$を虚数単位とする．複素数$z$の絶対値を$\left|z\right|$と表す．$\omega =\cos {\displaystyle \frac{2\pi }{5}}+i\sin {\displaystyle \frac{2\pi }{5}}$とし，$\alpha =\omega +{\omega }^4$とする．

(1)　${\alpha }^2=\text{お}$である．これより，$\alpha ={\displaystyle \frac{\text{ソ}+\sqrt{\text{タ}}}{\text{チ}}}$である．

(2)　複素数平面上の$2$点${\displaystyle \frac{i}{2}}\text{，}$$-1$間の距離は$\text{か}$である．

(3)　複素数平面上の$2$点${\omega }^2\text{，}$$-1$間の距離は$\text{き}$である．

(4)　${\displaystyle \frac{{\omega }^2+1}{\omega +1}}=r(\cos \theta +i\sin \theta )$（ただし，$r>0\text{，}$$0\leqq \theta <2\pi$）とおくとき，$r=\text{く}$であり，$\theta ={\displaystyle \frac{\text{ツ}}{\text{テ}}}\pi$である．

(5)　複素数平上で，$-1$を中心とし${\omega }^2$を通る円上を$z$が動くとする．$x={\displaystyle \frac{1}{z}}$とするとき，$x$は，

$|1+x|=\text{け}\left|x\right|$

を満たし，$\text{こ}$を中心とする半径$\text{さ}$の円を描く．

【４】　立方体$\mathrm{OADB‐CFGE}$を考える．$0\leqq x\leqq 1$となる実数$x$に対し，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=x\overrightarrow{\mathrm{OG}}$となる点$\mathrm{P}$を考え，$\mathrm{\angle APB}=\theta$とおく．

(1)　$x=0$のとき，$\theta =\text{し}$である．

　また，$x=1$のとき，$\theta =\text{す}$である．

(2)　$0<x<1$の範囲で$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$となる$x$の値は，$x={\displaystyle \frac{\text{ト}}{\text{ナ}}}$である．

(3)　$y=\cos \theta$とおき，$y$を$x$の関数と考える．このとき，$y$を$x$で表せ．また，$0\leqq x\leqq 1$の範囲で，$xy$平面上にそのグラフを描け．ただし，増減・凹凸・座標軸との共有点・極値・変曲点などを明らかにせよ．