2021　上智大学　推薦理工学部MathJax

【１】　$x>0$として，定積分

${\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{1}{1+x{t}^2}}\mathit{dt}$

の値を$I(x)$とする．

(1)　任意の自然数$n$に対して

${\displaystyle \frac{1}{1+x{t}^2}}={\displaystyle \sum _{k=0}^n}{(-x{t}^2)}^k+{\displaystyle \frac{{(-x{t}^2)}^{n+1}}{1+x{t}^2}}$

が成り立つことを示せ．

(2)　任意の自然数$n$に対して

$I(x)={\displaystyle \sum _{k=0}^n}{\displaystyle \frac{{(-x)}^k}{2k+1}}+{\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{{(-x{t}^2)}^{n+1}}{1+x{t}^2}}\mathit{dt}$

が成り立つことを示せ．

(3)　任意の自然数$n$に対して

${\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{t^{2(n+1)}}{1+x{t}^2}}\mathit{dt}\leqq {\displaystyle \frac{1}{2n+3}}$

が成り立つことを示せ．

(4)　以上の結果を利用して，

$I(0.1)={\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{1}{1+0.1t^2}}\mathit{dt}$

の近似値を誤差$0.001$未満で求め，求めた近似値と$I(0.1)$との差が$0.001$未満であることを示せ．

【２】　座標平面において，原点を通り$\overrightarrow{0}$でないベクトル$\overrightarrow{n}=(a,b)$を法線ベクトルとする直線$l$を考える．

(1)　点$\mathrm{P}$$(x_1,y_1)$と直線$l$の距離は

${\displaystyle \frac{|a{x}_1+b{y}_1|}{\sqrt{a^2+b^2}}}$

で与えられることを示せ．

(2)　直線$l$に関して点$\mathrm{P}$$(x_1,y_1)$と対称の位置にある点を$\mathrm{Q}$とするとき，$\mathrm{Q}$の座標を$a\text{，}$$b\text{，}$$x_1\text{，}$$y_1$を用いて表せ．

(3)　直線$y=2x$に関して点$(1,1)$と対称の位置にある点を求めよ．