2021　東京理科大学　理工学部B方式2月3日実施MathJax

【１】　次の文章中の$\text{ア}$から$\text{ロ}$までに当てはまる数字$0\text{〜}9$を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．ただし，分数は既約分数として表しなさい．

(1)　座標空間の点$\mathrm{P}$$(2,-3,1)$から$xy$平面，$yz$平面，$zx$平面に垂線を下ろす．それらの垂線が．$xy$平面，$yz$平面，$zx$平面と交わる点を，それぞれ$\mathrm{L}\text{，}$$\mathrm{M}\text{，}$$\mathrm{N}$とする．このとき，

点$\mathrm{L}$の座標は$(\text{ア},-\text{イ},\text{ウ})\text{，}$

点$\mathrm{M}$の座標は$(\text{エ},-\text{オ},\text{カ})\text{，}$

点$\mathrm{N}$の座標は$(\text{キ},\text{ク},\text{ケ})$

である．$\mathrm{\angle MLN}=\theta$$\text{（}0\mathrm{°}<\theta <180\mathrm{°}\text{）}$とすると

$\cos \theta ={\displaystyle \frac{\sqrt{\text{コ}}}{\text{サ}\text{シ}}}$

であり，$\mathrm{▵LMN}$の面積$S$は

$S={\displaystyle \frac{\text{ス}}{\text{セ}}}$

である．

【１】　次の文章中の$\text{ア}$から$\text{ロ}$までに当てはまる数字$0\text{〜}9$を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．ただし，分数は既約分数として表しなさい．

(2)　関数$f(x)=|x^2-4|+ax+b$が$f(1)=-1$および$f(-3)=5$を満たすとする．これより

$a=-\text{ソ}\text{，}$$b=-\text{タ}$

である．

(a)　$x$が$-2\leqq x\leqq 2$の範囲を動くとき，$f(x)$は

$x=-{\displaystyle \frac{\text{チ}}{\text{ツ}}}$で最大値${\displaystyle \frac{\text{テ}}{\text{ト}}}\text{，}$$x=\text{ナ}$で最小値$-\text{ニ}$

をとる．

(b)　方程式$f(x)-k=0$が実数の範囲で異なる$4$個の解をもつような実数$k$の値の範囲は

$-\text{ヌ}<k<{\displaystyle \frac{\text{ネ}}{\text{ノ}}}$

である．

【１】　次の文章中の$\text{ア}$から$\text{ロ}$までに当てはまる数字$0\text{〜}9$を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．ただし，分数は既約分数として表しなさい．

(3)(a)　$n$を自然数とする．次の条件$\mathrm{A}$を満たす自然数$x$の個数を，$f(n)$と書くことにする．

条件$\mathrm{A}$：$x$は$n$以下の自然数であり，かつ，$x\text{，}$$n$は互いに素である．

　このとき，

$f(3)=2\text{，}$$f(4)=2\text{，}$$f(5)=\text{ハ}\text{，}$$f(6)=\text{ヒ}\text{，}$

$f(7)=\text{フ}\text{，}$$f(8)=\text{ヘ}\text{，}$$f(100)=\text{ホ}\text{マ}$

である．

(b)　$n$を自然数とする．次の条件$\mathrm{B}$を満たす複素数$z$の個数を，$g(n)$と書くことにする．

条件$\mathrm{B}$：$z$の実部を$x\text{，}$虚部を$y$とすると，$x$と$y$はともに$n$以下の自然数であり，かつ，$x\text{，}$$y\text{，}$$n$の最大公約数は$1$である．

　このとき，

$g(3)=8\text{，}$$g(4)=12\text{，}$$g(5)=\text{ミ}\text{ム}\text{，}$$g(6)=\mathrm{<mspace\; width=".2em"></mspace><mtext\; class="futoji">メ</mtext>\; <mspace\; width=".2em"></mspace>}\text{モ}\text{，}$

$g(7)=\text{ヤ}\text{ユ}\text{，}$$g(8)=\text{ヨ}\text{ラ}\text{，}$$g(100)=\text{リ}\text{ル}\text{レ}\text{ロ}$

である．

【２】　$e$を自然対数の底とし，$f(x)=x{e}^{-2x}$とおく．$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上の曲線$y=f(x)$を$C$とおく．$C$上の点$(t,f(t))$における接線の傾きを$a(t)$とおく．

(1)　$a(t)$を求めよ．

　$a(t)$が最小となるときの$t$を$t_1$とおく．

(2)　$t_1$を求めよ．

　$C$上の点$\mathrm{P}$$(t_1,f(t_1))$における法線を$l$とおく．$l$と$x$軸の交点を$\mathrm{Q}$とおく．

(3)　$\mathrm{Q}$の$x$座標を求めよ．

(4)　線分$\mathrm{OQ}\text{，}$$\mathrm{QP}$および曲線$C$で囲まれた部分の面積を求めよ．

【３】　座標平面上の曲線$y=x^2$を$C_1$とおく．

　まず，曲線$C_1$を，$x$軸方向に$a\text{，}$$y$軸方向に$b$だけ平行移動して得られる曲線を$C$とする．

(1)　曲線$C_2$を表す方程式を求めよ．

(2)　$C_1$と$C_2$が共有点をもたないための必要十分条件を，$a\text{，}$$b$を用いて表せ．

　次に，点$\mathrm{A}$$(s,t)$を固定する．点$\mathrm{Q}$が曲線$C_1$上を動くとき，点$\mathrm{A}$に関して，点$\mathrm{Q}$と対称な点$\mathrm{P}$の軌跡を$C_3$とする．

(3)　曲線$C_3$を表す方程式を求めよ．

(4)　$C_1$と$C_3$が複数の共有点をもつための必要十分条件を，$s\text{，}$$t$を用いて表せ．

　最後に，$a=0\text{，}$$b=-14\text{，}$$s=-2\text{，}$$t=13$のときを考える．

(5)　$C_1$と$C_3$だけで囲まれる部分の面積を$S_1$とおき，$C_2$と$C_3$だけで囲まれる部分の面積を$S_2$とおく．$C_1\text{，}$$C_2\text{，}$$C_3$の$3$つの曲線で囲まれる部分の面積$S_2-S_1$を求めよ．