2021　東京理科大学　理工学部B方式2月6日実施MathJax

【１】　次の文章中の$\text{ア}$から$\text{ヲ}$までに当てはまる数字$0\text{〜}$$9$を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．ただし，分数は既約分数として表しなさい．なお，$\text{セ}$などは既出の$\text{セ}$を表す．

(1)　座標空間の$5$点$\mathrm{O}$$(0,0,0)\text{，}$$\mathrm{A}$$(6,-6,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(-8,9,0)\text{，}$$\mathrm{C}$$(-1,1,-1)\text{，}$$\mathrm{P}$$(a,b,c)$が

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=6$

を満たすとする．このとき，$a=\text{ア}\text{イ}\text{，}$$b=\text{ウ}\text{エ}\text{．}$$c=-\text{オ}$である．さらに，点$\mathrm{D}$$(t^3,t^2,t)$が

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OD}}=6$

を満たすのは，$t=-\text{カ}\text{，}$$-{\displaystyle \frac{\text{キ}}{\text{ク}}}\text{，}$${\displaystyle \frac{\text{ケ}}{\text{コ}}}$のときである．

【１】　次の文章中の$\text{ア}$から$\text{ヲ}$までに当てはまる数字$0\text{〜}$$9$を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．ただし，分数は既約分数として表しなさい．なお，$\text{セ}$などは既出の$\text{セ}$を表す．

(2)　$z=1+i$とおく．ただし，$i$は虚数単位である．$z+z^2+z^3+z^4=-\text{サ}+\text{シ}i$であり，自然数$m$に対し$z^{4m}={(-\text{ス})}^m$となる．

　次に，自然数$n$に対し$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{z}^k$とおく．このとき，自然数$m$に対し

$S_{4m}={(-\text{セ})}^m-\text{ソ}-({(-\text{セ})}^m-\text{タ})i$

であり，$0$以上の整数$m$に対し

$S_{4m+1}=\text{チ}{(-\text{セ})}^m-\text{ツ}+i$

$S_{4m+2}=\text{テ}{(-\text{セ})}^m-\text{ト}+(\text{ナ}{(-\text{セ})}^m+\text{ニ})i$

$S_{4m+3}=-\text{ヌ}+(-{(-\text{セ})}^{m+\text{ネ}}+\text{ノ})i$

となる．よって，$S_n$の実部の絶対値が$100$を超える最小の自然数$n$は$\text{ハ}\text{ヒ}$である．

【１】　次の文章中の$\text{ア}$から$\text{ヲ}$までに当てはまる数字$0\text{〜}$$9$を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．ただし，分数は既約分数として表しなさい．なお，$\text{セ}$などは既出の$\text{セ}$を表す．

(3)　$\sqrt{360n}$が整数となる自然数$n$のうち$2$番目に小さいものは$\text{フ}\text{へ}$である．$l=\sqrt{m^2+\text{フ}\text{ヘ}}$が整数となる自然数$m$は小さい方から順に$\text{ホ}$と$\text{マ}$で，$m=\text{ホ}$のとき$l=\text{ミ}\text{，}$$m=\text{マ}$のとき$l=\text{ム}\text{メ}$である．整数$x\text{，}$$y$が条件

$\text{マ}x+\text{ム}\text{メ}y=1$

を満たすとき，$x+y$の絶対値がとり得る値は小さい方から順に

$\text{モ}\text{，}$$\text{ヤ}\text{，}$$\text{ユ}\text{，}$$\cdots$

であり，$x+y$の絶対値が$\text{ユ}$となるのは，$x=\text{ヨ}\text{ラ}\text{，}$$y=-\text{リ}\text{ル}$のときと $x=-\text{レ}\text{ロ}\text{，}$$y=\text{ワ}\text{ヲ}$のときである．

【２】　放物線$D\text{：}y=x^2$と，$D$上を動く点$\mathrm{A}$$(a,a^2)$を考える．ただし，以下では$a$は常に

$0<a<1$

の範囲を動くとする．

　点$\mathrm{A}$における$D$の法線と$D$の交点のうち，$\mathrm{A}$以外の点を$\mathrm{B}$$(b.b^2)$とおく．

(1)　$b$を$a$を用いて表せ．また，$b$のとり得る値の範囲を求めよ．

　点$\mathrm{A}$における$D$の接線と，点$\mathrm{B}$における$D$の接線の交点を$\mathrm{P}$とおく．

(2)　点$\mathrm{P}$の座標を$a$を用いて表せ．

(3)　$\mathrm{▵ABP}$の面積を$S$とおく．$S$を$a$を用いて表せ．また，$S$の最小値を求めよ．

(4)　点$\mathrm{B}$における$D$の法線と$D$の交点のうち，$\mathrm{B}$以外の点を$\mathrm{C}$$(c,c^2)$とおく．$c$のとり得る値の範囲を求めよ．

【３】　関数$f(x)$を$f(x)=|x\sin x|$で定める．

(1)　$x\sin x$の導関数${(x\sin x)}^{\prime }$と不定積分${\displaystyle \int }x\sin x\mathit{dx}$を求めよ．

　座標平面において，原点$\mathrm{O}$から曲線$y=f(x)$に傾きが正の接線を引く．その接点の$x$座標を小さい順に

$x_0\text{．}$$x_1\text{，}$$x_2\text{，}$$\cdots$$x_n\text{，}$$\cdots$

とおき，

$I_n={\displaystyle {\int }_{x_{2n}}^{x_{2n+1}}}f(x)\mathit{dx}$$\text{（}n=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

とおく．

(2)　$x_n$を求めよ．

(3)　$I_n$を求めよ．

(4)　${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{I_n{I}_{n+1}}}$を求めよ．