2021　東京理科大学　理学部B方式2月5日実施MathJax

【１】　次の(1)から(2)において，$$内のカタカナにあてはまる$0$から$9$までの数字を求め，その数字を解答用マークシートにマークせよ．ただし，$$は$2\stackrel{\text{けた}}{\text{桁}}$の数を表すものとする．また，分数は既約分数（それ以上約分できない分数）の形に表すものとする．なお，同一の問題文中に$\text{ア}$などが$2$度以上現れる場合，$2$度目以降は$\text{ア}$のように網掛けで表記する．

(1)　座標平面上に原点$\mathrm{O}$$(0,0)$と点$\mathrm{A}$$(-1,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(1,0)$をとる．$x$軸上にない点$\mathrm{C}$に対して，線分$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}\text{，}$直線$\mathrm{AM}$と直線$\mathrm{OC}$の交点を$\mathrm{D}$とおく．$\mathrm{AM}$と$\mathrm{OC}$が垂直になるように$\mathrm{C}$が動くとき，$\mathrm{C}$は座標平面上で，

　円：${(x+{\displaystyle \frac{\text{ア}}{\text{イ}}})}^2+y^2={\displaystyle \frac{\text{ウ}}{\text{エ}}}$上を動く．

ただし，点$(-\text{オ},0)$と$(0,0)$は通らない．

　$\mathrm{D}$は座標平面上で，

　円：${(x+{\displaystyle \frac{\text{カ}}{\text{キ}}})}^2+y^2={\displaystyle \frac{\text{ク}}{\text{ケ}}}$上を動く．

ただし，点$(-\text{コ},0)$と$(0,0)$は通らない．

　$\mathrm{M}$は座標平面上で，

　円：${(x+{\displaystyle \frac{\text{サ}}{\text{シ}}})}^2+y^2={\displaystyle \frac{\text{ス}}{\text{セ}\text{ソ}}}$上を動く．

ただし，点$(-\text{タ},0)$と$({\displaystyle \frac{\text{チ}}{\text{ツ}}},0)$は通らない．

【１】　次の(1)から(2)において，$$内のカタカナにあてはまる$0$から$9$までの数字を求め，その数字を解答用マークシートにマークせよ．ただし，$$は$2\stackrel{\text{けた}}{\text{桁}}$の数を表すものとする．また，分数は既約分数（それ以上約分できない分数）の形に表すものとする．なお，同一の問題文中に$\text{ア}$などが$2$度以上現れる場合，$2$度目以降は$\text{ア}$のように網掛けで表記する．

(2)　自然数$n$に対して，自然数の組$(a_1,\cdots ,a_n)$$\text{（}m$は$n$以下の自然数）は以下の$2$条件を満たすとき，$n$の分割とよばれる．

(ⅰ)　$a_1\leqq \cdots \leqq a_m$　(ⅱ)　$a_1+\cdots +a_m=n$

また，分割$(a_1,\cdots ,a_m)$の積を$a_1\times \cdots \times a_m$の値とし，各自然数$a_1\text{，}$$\cdots \text{，}$$a_m$を$(a_1,\cdots ,a_m)$の要素とよぶ．

　たとえば，$4$の分割は$(4)\text{，}$$(1,3)\text{，}$$(2,2)\text{，}$$(1,1,2)\text{，}$$(1,1,1,1)$の$5$組あり，その積はそれぞれ順に$4\text{，}$$3\text{，}$$4\text{，}$$2\text{，}$$1$である．このとき以下が成り立つ．

(a)　$6$の分割は全部で$\text{テ}\text{ト}$個あり，その中で積が最大になる分割は$(\text{ナ},\text{ニ})$である．

(b)　$\text{ヌ}-1<k$を変形すると，それと同値な式$k<\text{ネ}(k-\text{ネ})$が得られる．$k=\text{ネ}+(k-\text{ネ})$なので，$\text{ヌ}$以上の自然数は，一般の$n$について，$n$の分割の中で積が最大になる分割の要素にはならない．

(c)　$\text{ヌ}$より小さい自然数の中で，$\text{ノ}$は$2$以上の一般の$n$について，$n$の分割の中で積が最大になる分割の要素にはならない．

(d)　$\text{ハ}=\text{ヒ}+\text{ヒ}=\text{ヒ}\times \text{ヒ}$なので，一般の$n$について，$n$の分割が$\text{ハ}$を要素として含むときは，それと同じ積を持ち，$\text{ハ}$を要素として含まないような$n$の分割が存在する．

(e)　したがって，$2$以上の一般の$n$について，$n$の分割の中で積を最大にするような分割に対して，それと同じ積を持ち，要素が$\text{フ}$と$\text{へ}$（ただし，$\text{フ}<\text{ヘ}\text{）}$のみで構成されるような$n$の分割が存在する．

(f)　また，$2$以上の一般の$n$について，$n$の分割の中で積を最大にするような分割の要素として$\text{フ}$は$\text{ホ}$個以上含まれない．

(g)　以上より，$2$以上の$n$の分割の中でその積が取り得る最大の値は，

$n=3t-1$$\text{（}t$は自然数）のとき$\text{マ}\times {\text{ミ}}^{t-1}$であり，

$n=3t$$\text{（}t$は自然数）のとき$\text{ム}\times {\text{メ}}^{t-1}$であり，

$n=3t+1$$\text{（}t$は自然数）のとき$\text{モ}\times {\text{ヤ}}^{t-1}$である．

【２】　$a\text{，}$$b$を実数とし，$f(x)=-x^2+ax-1\text{，}$$g(x,y)=(x+(xy-b)y)(y+(xy-b)x)-b$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$f(x)\geqq 0$となる$0$以上の実数$x$が存在するような実数$a$の範囲を求めよ．

(2)　$g(x,y)=(xy-b)h(x,y)$となる$x\text{，}$$y$の多項式$h(x,y)$を求めよ．

(3)　$h(x,y)=0$をみたす実数$x\text{，}$$y$が存在するような$b$の範囲を求めよ．

(4)　$s$と$t$を実数とし，$b=st$が(3)で求めた範囲にないとき，変数$x\text{，}$$y$の連立方程式

$\{\begin{array}{l}x+(xy-st)y=s\\ y+(xy-st)x=t\end{array}$

の実数解を$s\text{，}$$t$の式で表せ．

【３】　座標平面上で，直線$l\text{：}x=-1$上の点$\mathrm{M}$に対して，原点$\mathrm{O}$と$\mathrm{M}$を結ぶ直線上の点$\mathrm{P}$を線分$\mathrm{MP}$の長さが$2$で，$\mathrm{P}$と$\mathrm{O}$が$l$に関して同じ側にあるようにとる．$\mathrm{M}$が$l$上を動くとき，$\mathrm{P}$が描く曲線を$C$とおく．以下の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{M}$の座標を$(-1,\tan t)$$(-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<t<{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$とするとき，$\mathrm{P}$の座標を$t$を用いて表せ．

(2)　$t=t_1\text{，}$$t_2$$(-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<t_1<t_2<{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$のとき，(1)で求めた$\mathrm{P}$の座標が一致するような$t_1\text{，}$$t_2$を求めよ．

(3)　$C$上の点で，その点における$C$の接線が$x$軸と垂直であるような点の座標を求めよ．

(4)　$C$上の点で，その点における$C$の接線が$x$軸と平行であるような点が$2$つある．その点の$x$座標を求めよ．また，$2$点の$y$座標の和も求めよ．

(5)　$\mathrm{M}$が(2)で求めた$t_1\text{，}$$t_2$に対して，$t$が$t_1\leqq t\leqq t_2$の範囲を動くとき$\mathrm{P}$が描く曲線の概形を描け，

(6)　(1)で求めた$\mathrm{P}$の座標を$(x(t),y(t))$とするとき，${\displaystyle {\int }_{t_1}^{t_2}}|y(t)|x^{\prime }(t)\mathit{dt}$の値を求めよ，ここで，$|y(t)|$は$y(t)$の絶対値，$x^{\prime }(t)$は$x(t)$の導関数を表す．