2021　東京理科大学　理学部数学科2月8日実施MathJax

【１】　$c$を正の定数とし，$0<T_1<T_2<T_3<1$とする．座標平面上を次のように運動する点$\mathrm{P}$について考える．ただし，時刻$t$における点$\mathrm{P}$の座標を$(f(t),g(t))$とするとき，$f(t)$と$g(t)$は$0\leqq t\leqq 1$において連続であるとする．

•$(f(0),g(0))=(0,0)$である．$0<t<T_1$のとき，時刻$t$における点$\mathrm{P}$の速度は$(c,0)$である．$a=f(T_1)$とおく．

•$(f(T_1),g(T_1))=(a,0)$である．$T_1<t<T_2$のとき，時刻$t$における点$\mathrm{P}$の速度は$(0,{\displaystyle \frac{a}{t}})$である．$b=g(T_2)$とおく．

・$(f(T_2),g(T_2))=(a,b)$である．$T_2<t<T_3$のとき，時刻$t$における点$\mathrm{P}$の速度は$(-{\displaystyle \frac{a}{t}},0)$である．

•$(f(T_3),g(T_3))=(0,b)$である．$T_3<t<1$のとき，時刻$t$における点$\mathrm{P}$の速度は$(0,-{\displaystyle \frac{a}{t}})$である．

このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$c\text{，}$$T_1$を用いて，$a$を表せ．

(2)　$a\text{，}$$T_1\text{，}$$T_2$を用いて，$b$を表せ．

(3)　$(f(1),g(1))=(0,0)$であるとき，$T_1$を用いて，$T_2\text{，}$$T_3$を表せ．また，$c\text{，}$$T_1$を用いて，$a$と$b$の積$ab$を表せ．

(4)　(3)で求めた$ab$を変数$T_1$の関数と考える．$T_1$が$0<T_1<{\displaystyle \frac{1}{e}}$の範囲を動くとき，$ab$の最大値を求めよ．ただし，$e$は自然対数の底を表す．

【２】　$i=0\text{，}$$1\text{，}$$2\text{，}$$3$に対し，$4$で割ると余りが$i$であるような自然数全体の集合を$S_i$とする．自然数$n$に対して，$n$の正の約数で$S_i$の要素になっているものの個数を$d_i(n)$とする．例えば，$n=12$の正の約数は$1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$4\text{，}$$6\text{，}$$12$であるから，

$d_0(12)=2\text{，}$$d_1(12)=1\text{，}$$d_2(12)=2\text{，}$$d_3(12)=1$

である．これに関して，以下の問いに答えよ．

(1)　$d_0(280)\text{，}$$d_1(280)\text{，}$$d_2(280)\text{，}$$d_3(280)$を求めよ．

(2)　$p\text{，}$$q$を$p\in S_1\text{，}$$q\in S_3$を満たす素数とするとき，$d_0(2^3{p}^{2}q)$および$d_2(2^3{p}^2{q}^2)$を求めよ．

(3)　$p\text{，}$$q$を$p\in S_1\text{，}$$q\in S_3$を満たす素数とするとき，$d_1(2p{q}^2)$および$d_3(2p{q}^2)$を求めよ．

(4)　$t$を自然数とし，$q$を$q\in S_3$を満たす素数とするとき，$d_1(q^t)$を$t$を用いて表せ．

(5)　$t$を自然数とし，$p\text{，}$$q\text{，}$$r$は異なる素数で，$p\in S_1\text{，}$$q\in S_3\text{，}$$r\in S_3$を満たすとき，$d_1(p^t{q}^2{r}^2)$を$t$を用いて表せ．

(6)　$d_0(n)=6$を満たす自然数$n$を$2^{t}m$$\text{（}t$は負でない整数，$m$は奇数）と表すとき，$t$のとりうる値をすべて求めよ．

(7)　$d_0(n)\mathrm{=}6$を満たす自然数$n$に対し，$d_1(n)+d_3(n)$のとりうる値をすべて求めよ．