2021　東京理科大学　工学部B方式2月9日実施MathJax

【１】　次の(1)，(2)，(3)においては，$$内の$1$つのカタカナに$0$から$9$までの数字が$1$つあてはまる．その数字を解答用マークシートにマークしなさい．与えられた枠数より少ない桁の数があてはまる場合は，上位の桁を$0$として，右に詰めた数値としなさい．分数は既約分数とし，値が整数の場合は分母を$1$としなさい．根号を含む形で解答する場合は，根号の中に現れる自然数が最小となる形で答えなさい．

(1)　複素数$\alpha$を，$\alpha =4+4i$とおく．また，複素数平面上で$|z-\alpha |=2\sqrt{2}$を満たす複素数$z$$\text{（}0\leqq \arg z<2\pi \text{）}$を考える．このような複素数$z$のうち，偏角が最大となるものを$\beta \text{，}$偏角が最小となるものを$\gamma$とする．ただし，$i$は虚数単位とする．以下の問いに答えなさい．

(a)

$\beta =\text{ア}-\sqrt{\text{イ}}+i(\text{ウ}+\sqrt{\text{エ}})$

$\gamma =\text{オ}+\sqrt{\text{カ}}+i(\text{キ}-\sqrt{\text{ク}})$

である．

　また，$\beta$の偏角は${\displaystyle \frac{\text{ケ}}{\text{コ}\text{サ}}}\pi$であり，$\gamma$の偏角は${\displaystyle \frac{\text{シ}}{\text{ス}\text{セ}}}\pi$である．

　ただし，これらの偏角は$0$以上$2\pi$未満の値とする．

(b)　$1\leqq n\leqq 2021$を満たす自然数$n$のうち，${\gamma }^n$が純虚数となるような$n$の個数は，$\text{ソ}\text{タ}\text{チ}$個である．

(c)　$|z-\alpha |=2\sqrt{2}$を満たす複素数$z$のうち，$z^{2021}$が純虚数となるような$z$の個数は$\text{ツ}\text{テ}\text{ト}\text{ナ}$個である．

【１】　次の(1)，(2)，(3)においては，$$内の$1$つのカタカナに$0$から$9$までの数字が$1$つあてはまる．その数字を解答用マークシートにマークしなさい．与えられた枠数より少ない桁の数があてはまる場合は，上位の桁を$0$として，右に詰めた数値としなさい．分数は既約分数とし，値が整数の場合は分母を$1$としなさい．根号を含む形で解答する場合は，根号の中に現れる自然数が最小となる形で答えなさい．

(2)　$\mathrm{AB}=7\text{，}$$\mathrm{BC}=14\text{，}$$\mathrm{CA}=9$の三角形$\mathrm{ABC}$を考える．以下の問いに答えなさい．

(a)　$\cos \mathrm{\angle BAC}=-{\displaystyle \frac{\text{ア}\text{イ}}{\text{ウ}\text{エ}}}$であり，三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$\text{オ}\text{カ}\sqrt{\text{キ}}$である．

(b)　$\mathrm{\angle BAC}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とすると，$\mathrm{AD}$の長さは${\displaystyle \frac{\text{ク}}{\text{ケ}}}\sqrt{\text{コ}\text{サ}\text{シ}}$である．

(c)　三角形$\mathrm{ABC}$の内接円の半径は${\displaystyle \frac{\text{ス}}{\text{セ}}}\sqrt{\text{ソ}}$である．三角形$\mathrm{ABC}$の三辺$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{BC}\text{，}$$\mathrm{CA}$と内接円との接点をそれぞれ$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$とするとき，三角形$\mathrm{PQR}$の面積は${\displaystyle \frac{\text{タ}\text{チ}}{\text{ツ}\text{テ}}}\sqrt{\text{ト}}$である．

【１】　次の(1)，(2)，(3)においては，$$内の$1$つのカタカナに$0$から$9$までの数字が$1$つあてはまる．その数字を解答用マークシートにマークしなさい．与えられた枠数より少ない桁の数があてはまる場合は，上位の桁を$0$として，右に詰めた数値としなさい．分数は既約分数とし，値が整数の場合は分母を$1$としなさい．根号を含む形で解答する場合は，根号の中に現れる自然数が最小となる形で答えなさい．

(3)　以下の問いに答えなさい．

(a)　赤い玉と白い玉が$1$個ずつ入った袋において，以下の試行を繰り返す．

　例えば，$1$回目の試行において取り出した玉の色が赤であったとき，$1$回目の試行後，袋に赤い玉が$1$個と白い玉が$2$個入っていることになる．

　以下の確率を求めなさい．

　$2$回目の試行後，袋に入っている赤い玉の個数がちょうど$2$個である確率は

${\displaystyle \frac{\text{ア}}{\text{イ}}}$

である．

　$4$回目の試行後，袋に入っている赤い玉の個数が$2$個以下である確率は

${\displaystyle \frac{\text{ウ}}{\text{エ}\text{オ}}}$

である．

(b)　赤い玉と白い玉が$2$個ずつ入った袋において，以下の試行を繰り返す．

　以下の確率を求めなさい．

　$2$回目の試行後，袋に入っている赤い玉の個数がちょうど$4$個である確率は

${\displaystyle \frac{\text{カ}}{\text{キ}\text{ク}}}$

である．

　$3$回目の試行後，袋に入っている赤い玉の個数が$4$個以上かつ$6$個以下である確率は

${\displaystyle \frac{\text{ケ}\text{コ}\text{サ}\text{シ}}{\text{ス}\text{セ}\text{ソ}\text{タ}}}$

である．

【２】　以下の問いに答えなさい．ただし，空欄$\text{(あ)}\text{〜}$$\text{(き)}$については適切な数または式を解答用紙の所定の欄に記入しなさい．なお，座標平面で$x$座標，$y$座標がともに整数である点$(x,y)$を格子点という．

(1)　$n$を自然数とする．$x\text{，}$$y$が$3$つの不等式

$(4n-1)x-(2n-1)y>2n(3n-1)\text{，}$$x\leqq 3n-1\text{，}$$y\geqq -n$

を満たす格子点$(x,y)$の個数を$I_n$とする．

(a)　$I_1=\text{(あ)}$であり，$I_2=\text{(い)}$である．

(b)　$n$を用いて$I_n$を表すと$I_n=\text{(う)}$である．

(2)　$n$を自然数とする．$x\text{，}$$y$の連立不等式

$\{\begin{array}{l}|(4n-1)x-(2n-1)y|\leqq 2n(3n-1)\\ |(2n-1)x-(4n-1)y|\leqq 2n(3n-1)\end{array}$

が表す座標平面上の領域を$D_n$とする．

(a)　領域$D_n$は$4$点$(a_n,a_n)\text{，}$$(b_n,-b_n)\text{，}$$(-a_n,-a_n)\text{，}$$(-b_n,b_n)$を頂点とする四角形の周および内部である．$n$を用いて$a_n\text{，}$$b_n$を表すと$a_n=\text{(え)}\text{，}$$b_n=\text{(お)}$である．ただし，$a_n\geqq 0\text{，}$$b_n\geqq 0$とする．

(b)　領域$D_n$の面積を$n$を用いて表すと$\text{(か)}$である．

(c)　領域$D_n$に含まれる格子点$(x,y)$の個数を$J_n$とする．$n$を用いて$J_n$を表すと$J_n=\text{(き)}$である．なお，$\text{(き)}$を導く過程も解答用紙の所定の場所に書きなさい．

【３】　以下の問いに答えなさい．ただし，空欄$\text{(あ)}\text{〜}$$\text{(け)}$については適切な数または式を解答用紙の所定の欄に記入しなさい．

(1)　原点を$\mathrm{O}$とする座標平面において，媒介変数$\theta$$\text{（}0\leqq \theta \leqq 2\pi \text{）}$によって表された曲線$C\text{：}$

$\{\begin{array}{l}x=(1+\cos \theta )\cos \theta \\ y=(1+\sin \theta )\sin \theta \end{array}$

について，以下の問いに答えなさい．

(1)　${\displaystyle \frac{\mathit{dy}}{\mathit{d\theta }}}=0$となる$\theta$の値は小さい方から$\text{(あ)}\text{，}$$\text{(い)}\text{，}$$\text{(う)}\text{，}$$\text{(え)}$である．また傾きが$-1$となる曲線$C$の接線は$2$つあり，それらの方程式は

$y=-x+\text{(お)}\text{，}$$y=-x+\text{(か)}$

である．ただし$\text{(お)}>\text{(か)}$とする．

　点$\mathrm{P}$を曲線$C$上にとる．$\mathrm{P}$から直線$y=x$へ垂線$\mathrm{PH}$を下ろし，$\mathrm{PH}$を半径とする円の面積を$S$とする．ただし，$\mathrm{P}$が直線$y=x$上にあるとき$\mathrm{P}$と$\mathrm{H}$は同一点であり$S=0$とする．また，(1)で求めた$2$つの接線において，$x$座標が負の接点を$\mathrm{Q}$として，$\mathrm{QH}$の長さを$h$とする．ただし，$\mathrm{Q}$と$\mathrm{H}$が一致するときは$h=0$とする．

(2)　$\mathrm{P}$の座標を$(X,Y)$とする．$X\text{，}$$Y$を用いて$S$と$h$を表すと

$S=\text{(き)}\text{，}$$h=\text{(く)}$である．

(3)　曲線$C$によって囲まれた部分を直線$y=x$の周りに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めることを考える．$V$は$S$を$h$について積分すれば得られるが，置換積分法によって$S$を$\theta$について積分しても計算できる．これより$V=\text{(け)}$となる．なお，$\text{(け)}$を導く過程も所定の場所に書きなさい．