2021　東京理科大学　薬学部B方式2月7日実施MathJax

【１】　座標空間において，頂点を$(0,0,0)\text{，}$$(1,0,0)\text{，}$$(0,1,0)\text{，}$$(0,0,1)\text{，}$$(1,1,0)\text{，}$$(1,0,1)\text{，}$$(0,1,1)\text{，}$$(1,1,1)$とする立方体を$C$とし，$3$点$(0,0,0)\text{，}$$({\displaystyle \frac{s}{2}},0,{\displaystyle \frac{t}{2}})\text{，}$$(0,{\displaystyle \frac{s}{2}},{\displaystyle \frac{t}{2}})$$\text{（}s>0\text{，}$$t>0\text{）}$を通る平面を$\alpha$とする．$C$を$\alpha$によって$2$つの立体に分割したとき，$C$と$\alpha$の共通部分の図形を$P$とし，$2$つの立体のうち体積が小さい方の立体を$Q$とする．ただし$2$つの立体の体積が等しいときは，頂点$(1,1,0)$を含む立体を$Q$とする．

(1)　$s=2$とする．$P$が四角形となるのは，$0<t\leqq \text{ア}$のときで，このとき，$P$の面積は${\displaystyle \frac{1}{\text{イ}}}\sqrt{\text{ウ}{t}^2+\text{エ}}$である．また，$Q$の体積は${\displaystyle \frac{t}{\text{オ}}}$である．

(2)　$s=2$とする．$\mathrm{P}$が五角形となるのは，$\text{ア}<t<\text{カ}$のときである．さらに，$t={\displaystyle \frac{3}{2}}$とすると，$P$の面積は${\displaystyle \frac{\text{キ}}{\text{ク}\text{ケ}}}\sqrt{\text{コ}\text{サ}}$である．

(3)　$t=2$とする．$P$が三角形となるのは，$0<s\leqq \text{シ}$のときで，このとき，$P$の面積は${\displaystyle \frac{s}{\text{ス}}}\sqrt{s^{\text{セ}}+\text{ソ}}$であり，$Q$の体積は${\displaystyle \frac{s^{\text{タ}}}{\text{チ}\text{ツ}}}$である．

【２】　空間の単位ベクトル$\overrightarrow{p}\text{，}$$\overrightarrow{q}\text{，}$$\overrightarrow{r}$が，たがいに垂直であるとする．$1$から$6$までの数字が$1$つずつ書かれた同じ大きさの$6$枚の札が入った袋がある．この袋の中から札を$1$枚取り出し，札に書かれた数字を調べて札を元に戻す試行を$6$回繰り返す．$k$回目に取り出した札に書かれている数字によってベクトル$\overrightarrow{a_k}$を次のように定める$\text{（}k=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$4\text{，}$$5\text{，}$$6\text{)．}$ただし，$\overrightarrow{0}$は零ベクトルを表す．

　そのとき$\overrightarrow{x}=\overrightarrow{a_1}+\overrightarrow{a_2}+\overrightarrow{a_3}+\overrightarrow{a_4}+\overrightarrow{a_5}+\overrightarrow{a_6}$とおく．なお，$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$は$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の内積を表し，$\overrightarrow{0}\cdot \overrightarrow{b}=0$であるものとする．

(1)　$\overrightarrow{x}\cdot \overrightarrow{p}=0$となる確率は${\displaystyle \frac{\text{ア}}{\text{イ}}}$である．また，$\overrightarrow{x}\cdot \overrightarrow{q}=0$となる確率は${\displaystyle \frac{\text{ウ}\text{エ}\text{オ}}{\text{カ}\text{キ}\text{ク}}}$である．

(2)　$\overrightarrow{x}=\overrightarrow{p}+\overrightarrow{q}+\overrightarrow{r}$となる確率は${\displaystyle \frac{\text{ケ}\text{コ}}{\text{サ}\text{シ}\text{ス}}}$である．

(3)　$\overrightarrow{x}$と$\overrightarrow{p}-2\overrightarrow{q}+\overrightarrow{r}$の内積が$0$となる確率は${\displaystyle \frac{\text{セ}\text{ソ}\text{タ}\text{チ}}{\text{ツ}\text{テ}\text{ト}\text{ナ}\text{ニ}}}$である．

(4)　$\overrightarrow{x}$の大きさが$\sqrt{5}$となる確率は${\displaystyle \frac{\text{ネ}\text{ノ}}{\text{ハ}\text{ヒ}\text{フ}\text{ヘ}}}$である．

【３】　$s\text{，}$$t$を実数として，関数

$f(x)={\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{3}}\sin x\text{，}$$g(x)={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}x+s\text{，}$$h(x)=2\sqrt{2}{\sin }^2{\displaystyle \frac{x}{2}}+t$

を考える．

(1)(a)　ある定数$k$があって，$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$を満たすどのような$x$に対しても，$f(x)\leqq k\leqq g(x)$となる最小の$s$の値は${\displaystyle \frac{\text{ア}}{\text{イ}}}\sqrt{\text{ウ}}$である．

(b)　$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$を満たすある$x$に対して，ある定数$l$があって，$f(x)\leqq l\leqq g(x)$となる最小の$s$の値は${\displaystyle \frac{1}{\text{エ}}}\sqrt{\text{オ}}-{\displaystyle \frac{1}{\text{カ}}}\sqrt{\text{キ}}\pi$である．

(c)　$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$を満たすどのような$x$に対しても，ある定数$m$があって，$f(x)\leqq m\leqq g(x)$となる最小の$s$の値は${\displaystyle \frac{1}{\text{ク}}}\sqrt{\text{ケ}}-{\displaystyle \frac{1}{\text{コ}\text{サ}}}\sqrt{\text{シ}}\pi$である．

(2)(a)　$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{，}$$0\leqq y\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$を満たすどのような$x\text{，}$$y$に対しても，$f(x)\leqq h(y)$となる最小の$t$の値は${\displaystyle \frac{\text{ス}}{\text{セ}}}\sqrt{\text{ソ}}$である．

(b)　$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$を満たすどのような$x$に対しても，$f(x)\leqq h(x)$となる最小の$t$の値は

${\displaystyle \frac{\text{タ}}{\text{チ}}}\sqrt{\text{ツ}}-\sqrt{\text{テ}}$

である．

(c)　$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$を満たすある$x$に対して，$f(x)\leqq h(x)$となる最小の$t$の値は

${\displaystyle \frac{\text{ト}}{\text{ナ}}}\sqrt{\text{ニ}}-\sqrt{\text{ヌ}}$

である．

【４】　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を実数とする．$f(x)=x^4-4x^3+4x^2+{\displaystyle \frac{1}{4}}$とする．座標平面上における曲線$C_1\text{：}y=f(x)$と放物線$C_2\text{：}y=a{x}^2+bx+c$は点${\mathrm{P}}_1$$({\displaystyle \frac{2-\sqrt{2}}{2}},f({\displaystyle \frac{2-\sqrt{2}}{2}}\left)\right)\text{．}$${\mathrm{P}}_2$$({\displaystyle \frac{2+\sqrt{2}}{2}},f({\displaystyle \frac{2+\sqrt{2}}{2}}\left)\right)$を共有点としてもち，かつ点${\mathrm{P}}_1$で共通の接線$l_1\text{，}$点${\mathrm{P}}_2$で共通の接線$l_2$をもつという．曲線$C_1$と放物線$C_2$によって囲まれた部分の面積を$S_1\text{，}$接線$l_1$および$l_2$と$C_2$によって囲まれた部分の面積を$S_2$とする．

(1)　$a=-\text{ア}\text{，}$$b=\text{イ}\text{，}$$c=\text{ウ}$である．

(2)　$S_1={\displaystyle \frac{\text{エ}}{\text{オ}\text{カ}}}\sqrt{\text{キ}}$である．

(3)　接線$l_1$の方程式は$y=\sqrt{\text{ク}}x+{\displaystyle \frac{\text{ケ}}{\text{コ}}}-\sqrt{\text{サ}}$であり，$S_2={\displaystyle \frac{\text{シ}}{\text{ス}}}\sqrt{\text{セ}}$である．

　連立不等式$y\geqq f(x)\text{，}$$y\leqq -\text{ア}{x}^2+\text{イ}x+{\displaystyle \frac{1}{4}}\text{，}$$x\geqq {\displaystyle \frac{2+\sqrt{2}}{2}}$が表す領域（境界線も含む）の面積を$S_3$とする．

(4)　$S_3={\displaystyle \frac{\text{ソ}}{\text{タ}\text{チ}}}-{\displaystyle \frac{\text{ツ}}{\text{テ}\text{ト}\text{ナ}}}\sqrt{\text{ニ}}$である．