2021　東京理科大学　理学部応用数学科2月5日実施MathJax

【１】　$$内のカタカナにあてはまる$0$から$9$までの数字を求め，その数字を解答用マークシートにマークせよ． ただし，$$は$2\stackrel{\text{けた}}{\text{桁}}$の数，$$は$4\stackrel{\text{けた}}{\text{桁}}$の数，$$は$5\stackrel{\text{けた}}{\text{桁}}$の数，$$は$6\stackrel{\text{けた}}{\text{桁}}$の数を表すものとする．また，$\text{ア}$などが$2$度以上現れる場合，$2$度目以降は$\text{ア}$のように網掛けで表記するものとする．なお，根号を含む値は，根号の中の自然数が最小になる形で表すこと．

$X^2-X-1=0$

の二つの実数解を$a\text{，}$$b$$\text{（}a>b\text{）}$とする．ここで数列$\{L_n\}$を

$L_n=a^n+b^n$$\text{（}n\geqq 1\text{）}$

によって定める．

$L_1=\text{ア}\text{，}$$L_2=\text{<mspace width=".2em"></mspace>イ}\text{，}$$L_3=\text{ウ}$

である．数列$\{L_n\}$において，すべての自然数$n$に対して，

$L_{n+2}=\text{エ}{L}_{n+1}+\text{オ}{L}_n$

が成立する．よって，$L_n=29$を満たす自然数$n$の値は

$n=\text{カ}$

である．

　各項が有理数である数列$\{P_n\}$および$\{Q_n\}$を用いて，すべての自然数$n$に対して，

$a^n=P_n+Q_n\sqrt{\text{キ}}$

と表すことができる．この表し方から，関係式

$P_{n+1}={\displaystyle \frac{P_n+\text{ク}{Q}_n}{\text{ケ}}}$

が得られる．また，$b^n$も同様に$P_n\text{，}$$Q_n\text{，}$および$\sqrt{\text{キ}}$で表した式をあわせて考えれば

$P_n={\displaystyle \frac{L_n}{\text{コ}}}$

であることが分かる．以上より，

$Q_n={\displaystyle \frac{\text{サ}{L}_{n+1}-L_n}{\text{シ}\text{ス}}}$

となる．さらに，

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{Q_{n+1}}{Q_n}}={\displaystyle \frac{\text{セ}+\sqrt{\text{ソ}}}{\text{タ}}}$

である．

　ある自然数$k$に対して，$L_k=1364$かつ$3570\leqq L_{k+2}\leqq 3572$となる．このとき，

$L_{k+1}=\text{チ}\text{ツ}\text{テ}\text{ト}$

かつ

$L_{k+2}=\text{ナ}\text{ニ}\text{ヌ}\text{ネ}$

である．

　自然数$n$に対し，$L_n$を$5$で割った余りを$M_n$とする．このとき

$M_{10000}=\text{ノ}$

である．

　また，ある自然数$m$に対して，$L_m=439204$かつ$710640\leqq L_{m+1}\leqq 710650$となる．このとき，

$L_{m+1}=\text{ハ}\text{ヒ}\text{フ}\text{ヘ}\text{ホ}\text{マ}$

であり，

$a_m=\text{ミ}\text{ム}\text{メ}\text{モ}\text{ヤ}\text{ユ}$$+\text{ヨ}\text{ラ}\text{リ}\text{ル}\text{レ}\sqrt{\text{ロ}}$

である．

【２】　$a\text{，}$$b\text{，}$$n$を正の整数とする．袋の中に赤い球が$a$個，青い球が$b$個入っているとする．下記の操作を$n$回繰り返したとき，その$n$回目の操作時に袋から赤い球が取り出される確率を$P(a,b,n)$とする．

操作：袋から球を一つ取り出す．ただし，袋の中に入っている球を取り出す確率はどれも等しいとする．取り出した球の色を確認してから袋に戻し，更にそれと同じ色の球を一つ袋に加える．

(1)(a)　$P(6,2,2)$を求めよ．

(b)　$\mathrm{P}$$(5,3,2)$を求めよ．

(2)(a)　$P(5,2,3)$を求めよ．

(b)　$n\geqq 2$に対し，$P(a,b,n)$を$P(a+1,b,n-1)$と$P(a,b+1,n-1)$を用いて

$P(a,b,n)=\alpha P(a+1,b,n-1)$$+P(a,b+1,n-1)$

と表すことを考える．上式および $\alpha +\beta =1$を満たす正の実数$\alpha \text{，}$$\beta$を$a$と$b$で表せ．

(3)　$P(5,2,300)$を求めよ．