2021　東邦大学　理学部A日程MathJax

$a_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{4}}{a}_n-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}{b}_n\text{，}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

$b_{n+1}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}{a}_n+{\displaystyle \frac{1}{4}}{b}_n\text{，}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

　したがって，$a_2={\displaystyle \frac{1}{4}}a-{\displaystyle \frac{3}{4}}b\text{，}$$b_2={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}a+{\displaystyle \frac{1}{4}}b$である．

　次の$$に適する解答を，解答用紙の定められた場所に記入せよ．

(ⅰ)　$a_4=\text{ケ}{a}_1$と表せることから，$c_n=a_{3n-2}$で定義された数列$\{c_n\}$は等比数列であり，一般項は$c_n=\text{コ}$となる．

(ⅱ)　$b_4=\text{サ}{b}_1$と表せることから，$d_n=b_{3n-2}$で定義された数列$\{d_n\}$も等比数列であり，一般項は$d_n=\text{シ}$となる．

(ⅲ)　数列$\{e_n\}\text{，}$$\{f_n\}$をそれぞれ$e_n=a_{3n-1}\text{，}$$f_n=a_{3n}$で定義すると，上の漸化式より$a_{3n-1}={\displaystyle \frac{1}{4}}{a}_{3n-2}-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}{b}_{3n-2}$なので，一般項はそれぞれ$e_n=\text{ス}\text{，}$$f_n={(-{\displaystyle \frac{1}{8}})}^{n-1}(-{\displaystyle \frac{1}{8}}a-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{8}}b)$となる．

(ⅳ)　正の整数$m$に対し，

${\displaystyle \sum _{k=1}^{3m}}{a}_k=\text{セ}$

となる．

(ⅰ)　関数$y=f(x)$の極大値と極小値を$a\text{，}$$b$を使って表せ．

(ⅱ)　極大値と極小値の絶対値が等しいとき，$b$の値を求めよ．

(ⅲ)　$b$を(ⅱ)で求めた値とする．曲線$y=f(x)$と$x$軸との共有点のうち，$x$座標が負の点を$\mathrm{P}$とし，点$\mathrm{P}$における接線を$l$とする．直線$l$の方程式を$a$を用いて表せ．

(ⅳ)　直線$l$と点$\mathrm{P}$で直交する直線$m$が曲線$y=f(x)$と接するとき，直線$m$の傾きを求めよ．