2021　東邦大学　医学部医学科MathJax

2021-13460-0201

2021　東邦大学　医学部医学科

1月27日実施

易□　並□　難□

【１】　 $160!$ を素因数分解したときに現れる素因数 $2$ の個数は $アイウ$ である．また， $160!$ を計算したとき，末尾に連続して並ぶ $0$ の個数は $エオ$ である．

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易□　並□　難□

番号	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
$x$ のデータ	$2$	$3$	$1$	$5$	$1$	$6$
$y$ のデータ	$7$	$5$	$6$	$3$	$1$	$2$

【２】　 $2$ つの変量 $x ，$ $y$ のデータが， $6$ 個の $x ．$ $y$ の値の組として右の表のように得られている．

　このとき， $x$ と $y$ の共分散は $\frac{カキ}{ク}$ である．また， $a ，$ $b$ を定数とし， $2$ つの変量 $z ，$ $w$ をそれぞれ $z = a x + b ，$ $w = a y + b$ と定める． $z ，$ $w$ の平均値がそれぞれ $0 ，$ $\frac{1}{3}$ となるとき， $z$ と $w$ の共分散は $\frac{ケコ}{サ}$ である．

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易□　並□　難□

【３】　 $x = \sqrt{3} - \sqrt{7}$ のとき， $20 x^{2} - x^{4} = シス$ であり， $\frac{32}{x^{3}} - \frac{32}{x^{2}} - \frac{56}{x} + 50 + 22 x - 2 x^{2} - x^{3} = セソ$ である．

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【４】　 $1$ から $6$ までの目が等しい確率で出るさいころがある．このさいころを $104$ 回続けて投げるとき， $1$ の目が $5$ 回出て，かつ $2$ の目が $k$ 回出る確率を $P (k)$ とする．このとき， $\frac{P (0)}{P (1)}$ の値は $\frac{ア}{イウ}$ である．また， $P (k)$ を最大にする $k$ の値のうち最小のものは $エオ$ である．

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【５】　 $AB = 4 ，$ $BC = 5 ，$ $CA = 6$ の $▵ABC$ において， $∠ABC$ の二等分線と辺 $CA$ の交点を $D$ とする．このとき $BD = \frac{カキ}{ク}$ であり， $▵ABC$ の内接円の半径は $\frac{\sqrt{ケ}}{コ}$ である．

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【６】　 $m$ を実数とする． $x$ の $2$ 次方程式 $m^{2} x^{2} - m x + m + 2 = 0$ が異なる $2$ つの実数解 $α ，$ $β$ をもつような定数 $m$ の値の範囲は $m < \frac{サシ}{ス}$ である．また， $m$ がこの範囲にあるとき， ${(α - β)}^{2}$ の最大値は $\frac{セ}{ソ}$ である．

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【７】　数列 ${a_{n}}$ が $a_{1} = \frac{3}{2} ，$ $a_{n + 1} = \frac{6 a_{n} + 9}{12 - a_{n}}$ $（ n = 1 ，$ $2 ，$ $3 ，$ $\dots ）$ を満たすとき，すべての $n$ について $\frac{1}{a_{n + 1} - 3} - \frac{1}{a_{n} - 3} = \frac{アイ}{ウ}$ であり， $\sum_{k = 1}^{50} \frac{a_{k}}{(k + 2) (k + 4)} = \frac{エ}{オカ}$ である．

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【８】　 $O$ を原点とする $x, y$ 平面において，半直線 $y \cos θ = x \sin θ$ $(x ≧ 0 ， y ≧ 0 ， 0 ≦ θ ≦ \frac{π}{2})$ と曲線 $x^{2} + 4 x y + 5 y^{2} = 1$ との交点を $A_{θ}$ とする． $0 ≦ θ ≦ \frac{π}{2}$ のとき， $θ$ の関数 $f (θ) = \frac{１}{{O A_{θ}}^{2}}$ の取り得る値の範囲は $キ ≦ f (θ) ≦ ク + ケ \sqrt{コ}$ である．また， $θ_{k} = \frac{k}{2 n} π$ $（ k = 1 ，$ $2 ，$ $\dots ，$ $n ）$ とすると， $\underset{n \to \infty}{iim} \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} f (θ_{k}) = サ + \frac{シ}{π}$ である．

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【９】　 $α^{5} = 1 ，$ $a \neq 1$ を満たす複素数 $α$ について，

$\frac{α + 1}{α^{4}} + \frac{α^{2} + 1}{α^{3}} + \frac{α^{3} + 1}{α^{2}} + \frac{α^{4} + 1}{α} = スセ$

および

$\frac{α^{4}}{α + 1} + \frac{α^{3}}{α^{2} + 1} + \frac{α^{2}}{α^{3} + 1} + \frac{α}{α^{4} + 1} = ソタ$

である．

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【10】　 $| \vec{a} - \vec{b} | = \sqrt{2} ，$ $| \vec{a} + 2 \vec{b} | = \sqrt{5} ，$ $\vec{a} \cdot \vec{b} \neq 0$ であり，実数全体を定義域とする $t$ の関数 $g (t) = | \vec{a} - t \vec{b} |$ は最小値 $1$ をとる．このとき， $| \vec{a} | = \frac{チ}{ツ}$ である．また， $- 8 ≦ t ≦ 8$ のとき， $g (t)$ の最大値は $\sqrt{テト}$ である．