2021　東邦大学　理学部B英数択一MathJax

　$xy$平面上の双曲線$a{x}^2-y^2+2y-2=0$$\text{（}a>0\text{）}$を$C$とし，双曲線$C$の$x\geqq 0$の部分を曲線$R$とする．

(ⅰ)　双曲線$C$の焦点のうち第$1$象限にあるものの座標を$a$を用いて表すと$\text{ク}$である．また，双曲線$C$の漸近線のうち第$4$象限を通るものの方程式を$a$を用いて表すと$y=\text{ケ}$である．

(ⅱ)　曲線$R$上に点${\mathrm{P}}_0$$(x_0,y_0)$をとる．点${\mathrm{P}}_0$における$R$の接線が$y$軸と交わるとき，その$y$切片$y_1$は，$a$と$x_0$を用いずに$y_0$のみの式で$y_1=\text{コ}$と表される．さらに，曲線$R$上で$y$座標が$y_1$である点${\mathrm{P}}_1$における$R$の接線の$y$切片を$y_2$とすると，再び$a$と$x_0$を用いずに$y_0$のみの式で$y_2=\text{サ}$と表される．

(ⅲ)　曲線$R$上の点$\mathrm{P}$$(x,y)$について$k=y-x$とおく．$a<1$のときの最大値は$a$を用いて$\text{シ}$と表される．

(ⅳ)　右の図のように原点$\mathrm{O}$を通る曲線$R$の接線を$l$としたとき，曲線$R$と直線$l$および$x$軸で囲まれた部分$D$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積は，$a$を用いて$\text{ス}$と表される．

　$n$を正の整数とし，$x$の関数$f(x)={\displaystyle \frac{\log x}{x^n}}$を考える．

(ⅰ)　$f(x)$を$x$で微分せよ，

(ⅱ)　$f(x)$の増減を調べよ．

(ⅲ)　(ⅱ)より$e^{\frac{\pi }{n}}>{\pi }^{\frac{e}{n}}$を示せ．ただし，$e$は自然対数の底，$\pi$は円周率であり，必要であれば$e<\pi$を用いてよい．