2021　東邦大学　薬学部総合入試MathJax

【１】　以下の問いに答えよ．

(1)　$a\text{，}$$b$を実数として，複素数${\displaystyle \frac{1-\sqrt{2}i}{1+\sqrt{2}i}}$を$a+bi$の形に表すと，$$となる．

【１】　以下の問いに答えよ．

(2)　$2$次方程式$2x^2+3x-1=0$の$2$つの解を$\alpha \text{，}$$\beta$とするとき，${\alpha }^2-\alpha \beta +{\beta }^2=$である．

【１】　以下の問いに答えよ．

(3)　初項が$-6$で末項が$16$の等差数列があり，すべての項の和が$90$となるとき，頃数は$$ある．また，公差は$$である．

【１】　次の問いに答えよ．

(4)　等式${\displaystyle {\int }_a^x}f(t)\mathit{dt}=2x^2-5x-3$を満たす関数$f(x)$は$\text{，}$定数$a$の値は$$である．

【１】　次の問いに答えよ．

(5)　$3{\log }_{5}2-{\log }_5{\displaystyle \frac{8}{5\sqrt{5}}}$を計算すると$$である．また，${\log }_{2}5\times {\log }_{5}3\times {\log }_{3}8$を計算すると$$である．

【１】　次の問いに答えよ．

(6)　$0\leqq \theta \leqq \pi$のとき，関数$y=\cos 2\theta +2\sin \theta -1$の最大値は$$である．また，そのときの$\theta$の値は$$である．

【１】　次の問いに答えよ．

(7)　数直線上で，点$\mathrm{P}$は原点$\mathrm{O}$を出発し，さいころを投げて$4$以下の目が出たときは右へ$1$だけ進み，他の目が出たときは左へ$2$だけ進むものとする．さいころを$3$回投げたとき，点$\mathrm{P}$が原点にいる確率は$$である．また，$5$回投げたとき，点$\mathrm{P}$が$1$より右の位置にいる確率は$$である．

【２】　$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=(2,-1)\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=(1,3)\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=(7,7)$のとき，次の聞いに答えよ．

(1)　$\alpha \text{，}$$\beta$を実数として，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\alpha \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\beta \overrightarrow{\mathrm{OB}}$と表すとき，$\alpha \text{，}$$\beta$の値を求めよ．

(2)　$\mathrm{▵OAB}$において，辺$\mathrm{AB}$と直線$\mathrm{OC}$の交点を$\mathrm{P}$とするとき，$\gamma$を実数として$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\gamma \overrightarrow{\mathrm{OC}}$と表せる．$\gamma$の値を求めよ．

(3)　道線$\mathrm{BC}$上を点$\mathrm{Q}$が動いて行くとき，$\left|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\right|$が最小となるような点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．