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2021-13591-0301
2021 早稲田大学 基幹理工学部, 創造理工学部,先進理工学部
2月16日実施
易□ 並□ 難□
【1】 x⁣y 平面上の曲線 y=x 3 を C とする. C 上の 2 点 A (-1,- 1), B (1,1 ) をとる.さらに, C 上で原点 O と B の間に動点 P (t,t2 ) (0< t<1) をとる.このとき,以下の問に答えよ.
(1) 直線 AP と x 軸のなす角を α とし,直線 PB と x 軸のなす角を β とするとき, tan⁡α , tan⁡β を t を用いて表せ.ただし, 0<α< π2 , 0<β< π2 とする.
(2) tan⁡∠APB を t を用いて表せ.
(3) ∠APB を最小にする t の値を求めよ.
2021-13591-0302
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【2】 整式 f⁡( x)=x4 -x2+1 について,以下の問に答えよ.
(1) x6 を f⁡( x) で割ったときの余りを求めよ.
(2) x2021 を f⁡( x) で割ったときの余りを求めよ.
(3) 自然数 n が 3 の倍数であるとき, (x2 −1)n -1 が f⁡ (x) で割り切れることを示せ.
2021-13591-0303
【3】 複素数 α=2 +i, β=- 12+i に対応する複素数平面上の点を A⁡ (α) , B⁡( β) とする.このとき,以下の問に答えよ.
(1) 複素数平面上の点 C ⁡(α 2), D⁡ (β2 ) と原点 O の 3 点は一直線上にあることを示せ.
(2) 点 P⁡ (z) が直線 AB 上を動くとき, z2 の実部を x , 虚部を y として,点 Q⁡ (z2 ) の軌跡を x , y の方程式で表せ.
(3) 点 P⁡ (z) が三角形 OAB の周および内部にあるとき,点 Q ⁡(z2 ) 全体のなす図形を K とする. K を複素数平面上に図示せよ.
(4) (3)の図形 K の面積を求めよ.
2021-13591-0304
【4】 n, k を 2 以上の自然数とする. n 個の箱の中に k 個の玉を無作為に入れ,各箱に入った玉の個数を数える.その最大値と最小値の差が l となる確率を Pl (0≦ l≦k ) とする.このとき,以下の問に答えよ.
(1) n=2 , k=3 のとき, P0 , P1 , P2 , P3 を求めよ.
(2) n≧2 , k=2 のとき, P0 , P1 , P2 を求めよ.
(3) n≧3 , k=3 のとき, P0 , P1 , P2 , P3 を求めよ.
2021-13591-0305
【5】 正四面体 OABC に対し,三角形 ABC の外心を M とし, M を中心として点 A , B , C を通る球面を S とする.また, S と辺 OA , OB, OC との交点のうち, A , B, C とは異なるものをそれぞれ D , E, F とする.さらに, S と三角形 OAB の共通部分として得られる弧 DE を考え,その弧を含む円周の中心を G とする. a→= OA→ , b→= OB→ , c→= OC→ として,以下の問に答えよ.
(1) OD→ , OE→ , OF→ , OG→ を a→ , b→ , c→ を用いて表せ.
(2) 三角形 OAB の面積を S1 , 四角形 ODGE の面積を S2 とするとき, S1:S2 をできるだけ簡単な整数比により表せ.