2021 早稲田大学 理工系学部MathJax

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2021 早稲田大学 基幹理工学部,

創造理工学部,先進理工学部

2月16日実施

易□ 並□ 難□

【1】  xy 平面上の曲線 y=x 3 C とする. C 上の 2 A (-1,- 1) B (1,1 ) をとる.さらに, C 上で原点 O B の間に動点 P (t,t2 ) 0< t<1 をとる.このとき,以下の問に答えよ.

(1) 直線 AP x 軸のなす角を α とし,直線 PB x 軸のなす角を β とするとき, tanα tanβ t を用いて表せ.ただし, 0<α< π2 0<β< π2 とする.

(2)  tan∠APB t を用いて表せ.

(3)  ∠APB を最小にする t の値を求めよ.

2021 早稲田大学 基幹理工学部,

創造理工学部,先進理工学部

2月16日実施

易□ 並□ 難□

【2】 整式 f( x)=x4 -x2+1 について,以下の問に答えよ.

(1)  x6 f( x) で割ったときの余りを求めよ.

(2)  x2021 f( x) で割ったときの余りを求めよ.

(3) 自然数 n 3 の倍数であるとき, (x2 1)n -1 f (x) で割り切れることを示せ.

2021 早稲田大学 基幹理工学部,

創造理工学部,先進理工学部

2月16日実施

易□ 並□ 難□

【3】 複素数 α=2 +i β=- 12+i に対応する複素数平面上の点を A (α) B( β) とする.このとき,以下の問に答えよ.

(1) 複素数平面上の点 C (α 2) D (β2 ) と原点 O 3 点は一直線上にあることを示せ.

(2) 点 P (z) が直線 AB 上を動くとき, z2 の実部を x 虚部を y として,点 Q (z2 ) の軌跡を x y の方程式で表せ.

(3) 点 P (z) が三角形 OAB の周および内部にあるとき,点 Q (z2 ) 全体のなす図形を K とする. K を複素数平面上に図示せよ.

(4) (3)の図形 K の面積を求めよ.

2021 早稲田大学 基幹理工学部,

創造理工学部,先進理工学部

2月16日実施

易□ 並□ 難□

【4】  n k 2 以上の自然数とする. n 個の箱の中に k 個の玉を無作為に入れ,各箱に入った玉の個数を数える.その最大値と最小値の差が l となる確率を Pl 0 lk とする.このとき,以下の問に答えよ.

(1)  n=2 k=3 のとき, P0 P1 P2 P3 を求めよ.

(2)  n2 k=2 のとき, P0 P1 P2 を求めよ.

(3)  n3 k=3 のとき, P0 P1 P2 P3 を求めよ.

2021 早稲田大学 基幹理工学部,

創造理工学部,先進理工学部

2月16日実施

易□ 並□ 難□

【5】 正四面体 OABC に対し,三角形 ABC の外心を M とし, M を中心として点 A B C を通る球面を S とする.また, S と辺 OA OB OC との交点のうち, A B C とは異なるものをそれぞれ D E F とする.さらに, S と三角形 OAB の共通部分として得られる弧 DE を考え,その弧を含む円周の中心を G とする. a= OA b= OB c= OC として,以下の問に答えよ.

(1)  OD OE OF OG a b c を用いて表せ.

(2) 三角形 OAB の面積を S1 四角形 ODGE の面積を S2 とするとき, S1:S2 をできるだけ簡単な整数比により表せ.

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