2021　早稲田大学　人間科学部MathJax

【１】(1)　$8$人のメンバーで，$2$人組（ペア）を$4$組作る方法は$n$通りある．$n$を$100$で割った商は$\text{ア}$で，余りは$\text{イ}$である．

(2)　$8$人のメンバーで，$2$人組（ペア）を$4$組作って，ある作業に取り組んだ後，同じ$8$人で次の作業に取り組むペアを作るために，くじ引きをした．このとき，$8$人全員がくじ引き前と異なるメンバーとペアになる確率は${\displaystyle \frac{\text{ウ}}{\text{エ}}}$である．ただし，くじは公平でどの$2$人もペアになる確率は等しいものとする．

【２】(1)　次の連立不等式の表す領域の面積は${\displaystyle \frac{\text{オ}\sqrt{\text{カ}}}{\text{キ}}}$である．

$\{\begin{array}{l}{\log }_{4}y+{\log }_{\frac{1}{4}}(x-2)+{\log }_4{\displaystyle \frac{1}{8-x}}\geqq -1\\ 2^{y+x^2+11}\leqq {1024}^{x-1}\end{array}$

【２】(2)　$3$辺の長さがそれぞれ$5\text{，}$$16\text{，}$$19$の三角形の面積は$\text{ク}\sqrt{\text{ケ}}$である．

【２】(3)　$n$進法で${2021}_{(n)}$と表される数が，素数であるような$n$の最小値を十進法で表すと$\text{コ}$となり，合成数である（素数ではない）ような$n$の最小値を十進法で表すと$\text{サ}$となる．

【３】　自然数$n$について，連立不等式

$\{\begin{array}{l}x\geqq 0\\ {\displaystyle \frac{1}{4}}x+{\displaystyle \frac{1}{5}}\left|y\right|\leqq n\end{array}$

を満たす整数の組$(x,y)$の個数は，$n=1$のときは$\text{シ}$であり，$n$の式で表すと，

$\text{ス}{n}^2+\text{セ}n+\text{ソ}$

となる．

【４】　不等式${(x-6)}^2+{(y-4)}^2\leqq 4$の表す領域を点$\mathrm{P}$$(x,y)$が動くものとする．このとき，$x^2+y^2$の最大値は$\text{タ}+\text{チ}\sqrt{\text{ツ}}\text{，}$${\displaystyle \frac{y}{x}}$の最小値は${\displaystyle \frac{\text{テ}-\sqrt{\text{ト}}}{\text{ナ}}}\text{，}$$x+y$の最大値は$\text{ニ}+\text{ヌ}\sqrt{\text{ネ}}$となる．

【５】　半径$r_1=2$の円$O_1$に接する平行でない$2$つの直線がある．接点を$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$とし，$2$つの直線の交点を$\mathrm{P}$とし，$\mathrm{\angle APB}={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$とする．$O_1$より半径が小さく，$O_1$の中心を通り，直線$\mathrm{AP}$と直線$\mathrm{BP}$に接する円を$O_2$とする．同様に自然数$n$に対して，$O_n$より半径が小さく，$O_n$の中心を通り，直線$\mathrm{AP}$と直線$\mathrm{BP}$に接する円を$O_{n+1}$とする．

　$O_n$の半径を$r_n$とするとき，${\displaystyle \frac{r_n}{r_{n+1}}}={\displaystyle \frac{\text{ノ}}{\text{ハ}}}$となる．

　次に，$n$個の円$O_1\text{，}$$O_2\text{，}$$\cdots \text{，}$$O_n$の面積の和を$S_n$とするとき，$S_{10}$の整数部分は$\text{ヒ}$である．

【４】　点${\mathrm{M}}_1$$(0,0)$を中心に点$(1,0)$を，時計の針の回転と逆の向きを正として，$\theta$だけ回転させた点を${\mathrm{P}}_1$とする．次に，線分${\mathrm{M}}_1{\mathrm{P}}_1$の中点を${\mathrm{M}}_2$とし，この${\mathrm{M}}_2$を中心に点${\mathrm{P}}_1$を$\theta$だけ回転させた点を${\mathrm{P}}_2$とする．同様に自然数$n$に対して，線分${\mathrm{M}}_n{\mathrm{P}}_n$の中点${\mathrm{M}}_{n+1}$を中心に点${\mathrm{P}}_n$を$\theta$だけ回転させた点を${\mathrm{P}}_{n+1}$とする．${\mathrm{P}}_n$の座標を$(x_n,y_n)$とする．

　$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$のとき，$x_2={\displaystyle \frac{\sqrt{\text{タ}}}{\text{チ}}}\text{，}$$y_2={\displaystyle \frac{\text{ツ}+\sqrt{\text{テ}}}{\text{ト}}}$である．

　$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$のとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=\text{ナ}\text{，}$$\underset{n\to \infty }{\lim }{y}_n={\displaystyle \frac{\sqrt{\text{ニ}}}{\text{ヌ}}}$である．

【５】　原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上で，$2$点$(\sqrt{5},0)\text{，}$$(-\sqrt{5},0)$を焦点とし，$2$点$\mathrm{A}$$(1,0)\text{，}$${\mathrm{A}}^{\prime }$$(-1,0)$を頂点とする双曲線を$H$とする．$H$の方程式を${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}-{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1$と表すとき，$a^2=\text{ネ}\text{，}$$b^2=\text{ノ}$である．双曲線$H$の漸近線のうち，傾きが正であるものの方程式は，

$y=\text{ハ}x$

である．

　点$\mathrm{P}$$(p,q)$は双曲線$H$の第$1$象限の部分を動く点とする．点$\mathrm{P}$から$x$軸に下ろした垂線の足を$\mathrm{Q}\text{，}$直線$\mathrm{PQ}$と双曲線$H$の漸近線との交点のうち，第$1$象限にあるものを$\mathrm{R}$とする．点$\mathrm{P}$における$H$の接線と直線$x=1$との交点を$\mathrm{M}$とし，直線$\mathrm{OM}$と直線$\mathrm{AP}$との交点を$\mathrm{N}$とする．三角形$\mathrm{OQR}$の面積を$S\text{，}$三角形$\mathrm{OAN}$の面積を$T$とするとき，${\displaystyle \frac{T}{S}}$は，$p=\sqrt{\text{ヒ}}$のとき，最大値${\displaystyle \frac{\text{フ}}{\text{ヘ}}}$をとる．