2021　早稲田大学　商学部MathJax

【１】　$\text{ア}\text{〜}$$\text{エ}$にあてはまる数または式を記述解答用紙の所定欄に記入せよ．

(1)　三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{\angle B}=2\alpha \text{，}$$\mathrm{\angle C}=2\beta$とする．

$\tan \alpha \tan \beta =x\text{，}$${\displaystyle \frac{\mathrm{AB}+\mathrm{AC}}{\mathrm{BC}}}=y$

とするとき，$y$を$x$で表すと$y=\text{ア}$となる．

【１】　$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{エ}}$にあてはまる数または式を記述解答用紙の所定欄に記入せよ．

(2)　$n$を正の整数とする．$f(x)$は$x$の$n+1$次式で表される関数で，$x$が$0$以上$n$以下の整数のとき$f(x)=0$であり，$f(n+1)=n+1$である．このとき，

${\displaystyle \sum _{k=0}^n}{\displaystyle \frac{{(1-\sqrt{2})}^k}{f^{\prime }(k)}}>2^{2021}$

を満たす最小の$n$は$\text{イ}$である．

【１】　$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{エ}}$にあてはまる数または式を記述解答用紙の所定欄に記入せよ．

(3)　正の実数$x\text{，}$$y\text{，}$$z$が

${\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{2}{y}}+{\displaystyle \frac{3}{z}}=1$

を満たすとき，$(x-1)(y-2)(z-3)$の最小値は$\text{ウ}$である．

【１】　$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{エ}}$にあてはまる数または式を記述解答用紙の所定欄に記入せよ．

(4)　座標空間において，各座標が整数である$6$個の点${\mathrm{P}}_0\text{，}$${\mathrm{P}}_1\text{，}$${\mathrm{P}}_2\text{，}$${\mathrm{P}}_3\text{，}$${\mathrm{P}}_4\text{，}$${\mathrm{P}}_5$を，次の条件を満たすように重複を許して選ぶ．

(ⅰ)　${\mathrm{P}}_0=(0,0,0)$

(ⅱ)　${\mathrm{P}}_k$と${\mathrm{P}}_{k+1}$との距離は$1$$\text{（}k=0\text{，}$$1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$4\text{）}$

(ⅲ)　${\mathrm{P}}_0$と${\mathrm{P}}_5$との距離は$1$

このとき，選び方の総数は$\text{エ}$通りである．

【２】　図のように，$1$辺の長さが$2$である立方体$\mathrm{ABCD‐EFGH}$の内側に，正方形$\mathrm{ABCD}$に内接する円を底面にもつ高さ$2$の円柱$V$をとる．次の設問に答えよ．

(1)　立方体の対角線$\mathrm{AG}$と円柱$V$の共通部分として得られる線分の長さを求めよ．

(2)　$W$を三角柱$\mathrm{ABF‐DCG}$と三角柱$\mathrm{AEH‐BFG}$の共通部分とする．円柱$V$の側面と$W$の共通部分に含まれる線分の長さの最大値を求めよ．

【３】　次の設問に答えよ．

(1)　$225$のすべての正の約数の和を求めよ．

(2)　$2021$以下の正の整数で，すべての正の約数の和が奇数であるものの個数を求めよ．