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2021-13591-0801
2021 早稲田大学 社会科学部
2月22日実施
易□ 並□ 難□
【1】 a, b を定数とし,関数 f⁡ (x)= x2+a⁢ x+b とする.方程式 f⁡( x)=0 の 2 つの解 α , β が次式で与えられている.
α= sin⁡θ1 +cos⁡θ , β= sin⁡θ1 −cos⁡θ
ここで θ は, 0<θ<π の定数である.次の問に答えよ.
(1) a, b を θ を用いて表せ.
(2) θ が 0<θ <π で変化するとき,放物線 y=f⁡ (x) の頂点の軌跡を求めよ.
(3) ∫0 2⁢sin⁡θ f⁡( x)⁢dx =0 となる θ の値をすべて求めよ.
2021-13591-0802
【2】 ▵OAB において,辺 OA を 1:1 に内分する点を D , 辺 OB を 2:1 に内分する点を E とする.線分 BD と線分 AE の交点を F , OA→= a→ , OB→= b→ , | a→ |= a , |b →| =b として,次の問に答えよ.
(1) OF→ を a→ , b→ を用いて表せ.
さらに, a→⋅ OF→=b →⋅OF → として,以下の問に答えよ.
(2) 内積 a→ ⋅b→ を a , b を用いて表せ.
(3) b=1 のとき, a のとりうる値の範囲を求めよ.
(4) b=1 のとき, ▵OAB の面積 S の最大値と,そのときの a の値を求めよ.
2021-13591-0803
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【3】 k を 3 以上の整数とする. k 進法で 2021( k) と表される整数 N を考える.次の問に答えよ.
(1) N が k-1 で割り切れるときの k の値を求めよ.
(2) N を k+1 で割ったときの余りを k で表せ.
(3) N を k+2 で割ったときの余りが 1 となる k の値をすべて求めよ.