2021　早稲田大学　社会科学部MathJax

【１】　$a\text{，}$$b$を定数とし，関数$f(x)=x^2+ax+b$とする．方程式$f(x)=0$の$2$つの解$\alpha \text{，}$$\beta$が次式で与えられている．

$\alpha ={\displaystyle \frac{\sin \theta }{1+\cos \theta }}\text{，}$$\beta ={\displaystyle \frac{\sin \theta }{1-\cos \theta }}$

ここで$\theta$は，$0<\theta <\pi$の定数である．次の問に答えよ．

(1)　$a\text{，}$$b$を$\theta$を用いて表せ．

(2)　$\theta$が$0<\theta <\pi$で変化するとき，放物線$y=f(x)$の頂点の軌跡を求めよ．

(3)　${\displaystyle {\int }_0^{2\sin \theta }}f(x)\mathit{dx}=0$となる$\theta$の値をすべて求めよ．

【２】　$\mathrm{▵OAB}$において，辺$\mathrm{OA}$を$1:1$に内分する点を$\mathrm{D}\text{，}$辺$\mathrm{OB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{E}$とする．線分$\mathrm{BD}$と線分$\mathrm{AE}$の交点を$\mathrm{F}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\left|\overrightarrow{a}\right|=a\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|=b$として，次の問に答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

　さらに，$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OF}}=\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OF}}$として，以下の問に答えよ．

(2)　内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$を$a\text{，}$$b$を用いて表せ．

(3)　$b=1$のとき，$a$のとりうる値の範囲を求めよ．

(4)　$b=1$のとき，$\mathrm{▵OAB}$の面積$S$の最大値と，そのときの$a$の値を求めよ．

【３】　$k$を$3$以上の整数とする．$k$進法で${2021}_{(k)}$と表される整数$N$を考える．次の問に答えよ．

(1)　$N$が$k-1$で割り切れるときの$k$の値を求めよ．

(2)　$N$を$k+1$で割ったときの余りを$k$で表せ．

(3)　$N$を$k+2$で割ったときの余りが$1$となる$k$の値をすべて求めよ．