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2021-14576-0101
2021 南山大学 全学統一入試(文系型)2月7日実施
易□ 並□ 難□
【1】 の中に答を入れよ.
(1) a を定数とし, 2 次方程式 2⁢ x2-2 ⁢a⁢x- a2+1 =0 を考える.この方程式が実数解をもつとき, a のとりうる値の範囲は ア である.また,この方程式が負の実数解をもたないとき, a のとりうる他の範囲は イ である.
2021-14576-0102
(2) 関数 y= (log3 ⁡x)2 -3 logx⁡ 3 +5 (3 ≦x≦27 ) を考える. t=log2 ⁡x とおいて y を t で表すと y= ウ であり. y の最小値 a と最大値 b を求めると ( a,b) = エ である.
2021-14576-0103
(3) d , i , s , e , a , s , e の 7 文字について, 7 文字すべてを 1 列に並べる並べ方は オ 通りあり, 7 文字から 6 文字選んで 1 列に並べる並べ方は カ 通りある.
2021-14576-0104
(4) ある数学のテストを A 班の 5 名と B 班の 3 名が受けた. A 班の得点の平均値は 16 点,分散は 80 , B 班の得点の平均値は 8 点,分数は 24 であった.このとき A 班と B 班の合計 8 名の得点の平均値は キ 点,分散は ク である.
2021-14576-0105
【2】 曲線 C: y=x3 と C 上の 3 点 O (0,0 ), P (t, t3) . A (1,1 ) を考える.ただし, t は 0< t<1 を満たす実数とする.線分 OP と C で囲まれる部分の面積を S1 , 線分 PA と C で囲まれる部分の面積を S2 とおく.
(1) S1 を求めよ.
(2) S2 を求めよ.
(3) S2=3 ⁢S1 が成り立つような t の値を求めよ.
(4) S=S1 +S2 が最小となる t の値と,そのときの S の値を求めよ.
2021-14576-0106
2021 南山大学 全学統一入試(理系型)2月7日実施
(1) a2+ b2=1 , 1a +1 b=1 , a⁢b<1 のとき, a⁢b の値は a⁢ b= ア であり, a3+ b3 の値は a3 +b3 = イ である.
2021-14576-0108
(2) a は定数とする. x についての 2 次関数
y=x2 +2⁢( a-1) ⁢x+a2 -a-3
を考える.この関数の最小値が 0 であるとき, a の値は a= ウ である. a がすべての実数値をとって変化するとき,この 2 次関数のグラフの頂点が描く図形の方程式は エ である.
2021-14576-0109
(3) 230 を 10 進法で表すと オ 桁になる.また, 10n× 230 を 5 進法で表すと 19 桁になるような整数 n の値は n= カ である.ただし, log10⁡ 2=0.3010 とする.
2021-14576-0110
(4) 次のデータは,ある年にある地方で発生したマグニチュード 4 以上の地震の回数を月ごとに集計した結果である.
21 44 441 269 245 182 164 162 116 100 82 91
このデータの第 2 四分位数(中央値)は キ であり,四分位範囲は ク である.
2021-14576-0111
【2】 O を原点とする座標平面を考える. O を中心とする半径 10 の円周上に異なる 4 点 A , B , C , D が反時計まわり(正の向き)に ∠AOB =∠BOC=∠COD であるように並んでいる. B (4+3 ⁢3,- 3+4⁢ 3) , C (6, 8) とし, OA→= a→ , OB→ =b→ , OC→ =c→ , OD→ =d→ とおく.
(1) 内積 b →⋅c → の値と ∠BOC の大きさを求めよ.
(2) AC の中点を E とする. OE→ を a → , c→ で表せ.また, OE→= r⁢b→ ( r は実数)とおくとき, r の値を求めよ.
(3) a→ を求めよ.
(4) d→ を求めよ.
2021-14576-0112
【3−1】,【3−2】から1題選択
【3−1】 2 つの関数 f⁡ (x) , g⁡( x) を
f⁡( x)= x5⁢e -x2 , g⁡( x)=( x2+2 ⁢x+2) ⁢e-x
とする.
(1) g⁡( x) の導関数 g ′⁡( x) を求めよ.
(2) 区間 0≦ x≦2 において, f⁡(x ) の増減を調べ, f⁡( x) の最大値を求めよ.
(3) 曲線 y=f ⁡(x ) 上の点 ( 2,f⁡ (2) ) における接線の方程式を求めよ.
(4) x2=t とおくことにより,定積分
I=∫ 02f ⁡(x )⁢dx
の値を求めよ.
2021-14576-0113
【3−2】 次の条件によって定められる数列 { an} がある.
a1=4 , an+1 = 4⁢an +3a n+2 ( n=1 ,2 ,3 ,⋯ )
(1) an +1a n−3 =bn とおく. bn+1 を bn の式で表せ.
(2) (1)で定められる数列 { bn} の一般項を求めよ.
(3) 数列 { an} の一般項を求めよ.
(4) 極限 limn →∞a n を求めよ.