2021　南山大　経済，外国語学部2月9日実施MathJax

【１】　$$の中に答を入れよ．

(1)　整式$P(x)=x^3+s{x}^2+tx+6$を考える．$P(x)$を$x+1$で割ると割り切れ，$x-1$で割ると$4$余るとき，定数$s\text{，}$$t$の値は$(s,t)=\text{ア}$である．また，このとき，$P(1+\sqrt{2}i)=a+bi$が成り立つような実数$a\text{，}$$b$の値は，$(a,b)=\text{イ}$である．ただし，$i$は虚数単位である．

【１】　$$の中に答を入れよ．

(2)　$\mathrm{▵ABC}$において，$\mathrm{AB}=5\text{，}$$\mathrm{AC}=3$とする．$90\mathrm{°}<\mathrm{\angle BAC}<180\mathrm{°}$のとき，辺$\mathrm{BC}$の長さのとりうる値の範囲は$\text{ウ}$である．また，$\mathrm{\angle BAC}=120\mathrm{°}$のとき，$\mathrm{\angle BAD}=30\mathrm{°}$となるような点$\mathrm{D}$を辺$\mathrm{BC}$上にとると，$\mathrm{AD}=\text{エ}$である．

【１】　$$の中に答を入れよ．

(3)　正の実数$x$について，$x^2$の整数部分を$n\text{，}$小数部分を$p$とする．$p={\displaystyle \frac{x}{4}}$が成立するとき，$x$を$n$で表すと$x=\text{オ}$であり，$x$は全部で$\text{カ}$個ある．

【１】　$$の中に答を入れよ．

(4)　方程式${\log }_4(10x-x^2)={\log }_2(10-2x)$の解は$x=\text{キ}$である．また，不等式${\log }_{\frac{1}{2}}(10x-x^2)>{\log }_{\frac{1}{2}}(10-2x)$の解は$\text{ク}$である．

【１】　$$の中に答を入れよ．

(5)　$a$は実数とし，関数$f(x)$が$f(x)+{\displaystyle {\int }_a^x}{f}^{\prime }(t)\mathit{dt}=x^2+8x$を満たすとき，$f^{\prime }(x)=\text{ケ}$である．さらに，$f(0)=-8$のとき，$a=\text{コ}$である．

【２】　$a\text{，}$$k$を実数として，$3$つの関数$f(x)=x^2+3x+1\text{，}$$g(x)=x^3-ax+1\text{，}$$h(x)=kx+1$を考える．$xy$平面上の$2$つの曲線$C_1\text{：}y=f(x)$と$C_2\text{：}y=g(x)$と直線$l\text{：}y=h(x)$は，いずれも点$\mathrm{A}$$(0,1)$を通る．

(1)　$a=2$のとき，方程式$g(x)=0$を解け．

(2)　$k=-1$のとき，$C_1$と$l$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

(3)　$l$が点$\mathrm{A}$で$C_1$にも$C_2$にも接するとき，$a$と$k$の値を求めよ．

(4)　$C_1$と$C_2$が$\mathrm{A}$以外にも共有点$\mathrm{P}$$(p,q)$をもち，かつ，$\mathrm{P}$における$C_1$の接線の傾きと$\mathrm{P}$における$C_2$の接線の傾きが等しいとき，$a$の値と$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

【１】　$$の中に答を入れよ．

(4)　$4$枚の硬貨を同時に投げた．このとき，表が$2$枚，裏が$2$枚出ている確率は$\text{キ}$である．また，少なくとも$2$枚は表が出たことがわかっている場合，$4$枚とも表が出ている確率は$\text{ク}$である．

【１】　$$の中に答を入れよ．

(5)　平面上のベクトル$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$が，$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=2\text{，}$$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=1$を満たすとき，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の内積を求めると，$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\text{ケ}$であり，$\left|\overrightarrow{a}\right|$のとりうる値の範囲は$\text{コ}$である．

【３】　公差$30$の等差数列$\{a_n\}$と公比$2$の等比数列$\{b_n\}$がある$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）．}$$\{a_n\}$の初項から第$4$項までの和は$380$であり，$\{b_n\}$の初項から第$4$項までの和は$300$である．また，$\{b_n\}$の項のうち，$\{a_n\}$の項でもあるものを小さいものから順に並べて得られる数列を$\{c_n\}$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$とする．

(1)　$a_1$と$b_1$を求めよ．

(2)　$c_1=b_K=a_M$を満たす$K$と$M$を求めよ．

(3)　$b_k=a_m$が成り立つと仮定するとき，$b_k\text{，}$$b_{k+1}\text{，}$$b_{k+2}$を，それぞれ$m$の$1$次式で表せ．

(4)　$b_k=a_m$が成り立つと仮定するとき，$a_{2m}<b_{k+1}<a_{2m+1}$および$b_{k+2}=a_{4m+2}$が成り立つことを示せ．

(5)　$\{c_n\}$の第$n$項を$n$で表せ．