2021　南山大　理工A2月10日実施MathJax

【１】　$$の中に答を入れよ．

(1)　関数$y=\sin x-\cos x$$({\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq x\leqq \pi )$の最大値は$\text{ア}$である．また，この関数が最小値をとるときの$x$の値は$\text{イ}$である．

【１】　$$の中に答を入れよ．

(2)　自然数全体の集合を全体集合$U$とし，$U$の部分集合$P\text{，}$$Q\text{，}$$R$を

$P=\{n|n\text{は}50\text{未満の自然数}\}$

$Q=\{n|n\text{は}6\text{で割り切れる自然数}\}$

$R=\{n|n\text{は}15\text{で割り切れる自然数}\}$

とする．このとき，$30$で割り切れる自然数全体の集合を$Q\text{，}$$R$を用いて書き表すと$\text{ウ}$である．また，$P\cap Q\cap \bar{R}$の要素の個数は$\text{エ}$である．

【１】　$$の中に答を入れよ．

(3)　等式

${\displaystyle \frac{1}{x(x+2)}}={\displaystyle \frac{a}{x}}+{\displaystyle \frac{b}{x+2}}$

が$x$についての恒等式になるような定数$a\text{，}$$b$の値を求めると$(a,b)=\text{オ}$である．${\displaystyle \sum _{k=1}^9}{\displaystyle \frac{1}{k(k+2)}}$を求め既約分数で表すと${\displaystyle \sum _{k=1}^9}{\displaystyle \frac{1}{k(k+2)}}=\text{カ}$である．

【１】　$$の中に答を入れよ．

(4)　次のデータは$10$匹の犬の出生時の体重を記録したものである．

$120$$460$$293$$356$$377$$406$$360$$380$$361$$297$$\text{（単位は}\mathrm{g}\text{）}$

このデータの平均値を計算すると$350\mathrm{g}$であった．データを点検したところ，入力ミスが$2$つ見つかった．$210\mathrm{g}$は$260\mathrm{g}$が正しく，$460\mathrm{g}$は$410\mathrm{g}$が正しかった．この入力ミスを修正すると，データの平均値は$\text{キ}\mathrm{g}$である．また，修正前と修正後のデータの分散をそれぞれ$x\text{，}$$y$とすると$x-y$の値は$x-y=\text{ク}$である．

【２】　$\mathrm{O}$を原点とする座標平面に$\mathrm{▵ABC}$があり，$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$の座標は，$\mathrm{A}$$(2,1)\text{，}$$\mathrm{B}$$(5,3)\text{，}$$\mathrm{C}$$(3,4)$である．また，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$とする．

(1)　$\mathrm{▵ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とする．$\mathrm{G}$の座標を求めよ．

(2)　$\left|\overrightarrow{b}\right|\text{，}$$\left|\overrightarrow{c}\right|\text{，}$内積$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}$の値を求めよ．

(3)　$\mathrm{▵ABC}$の重心を$\mathrm{H}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AH}}=s\overrightarrow{b}+t\overrightarrow{c}$（$s\text{，}$$t$は実数）とおく．このとき．$s\text{，}$$t$の値を求めよ．なお，垂心とは，$3$つの頂点から向かい合う辺またはその延長に下ろした垂線が交わる点のことである．

(4)　$\mathrm{▵ABC}$の外心を$\mathrm{P}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=q\overrightarrow{b}+r\overrightarrow{c}$（$q\text{，}$$r$は実数）とおく．このとき，$q\text{．}$$r$の値を求めよ．

【３−１】　関数$f(x)=x\sqrt{4-x^2}$$\text{（}-2\leqq x\leqq 2\text{）}$を考える．

(1)　$-2<x<2$のとき，導関数$f^{\prime }(x)$を求めよ．

(2)　$f(x)$の増減を調べ，$f(x)$の最大値を求めよ．

(3)　定積分

$I={\displaystyle {\int }_0^{\sqrt{2}}}f(x)\mathit{dx}$

の値を求めよ．

(4)　点$(\sqrt{2},f(\sqrt{2}))$における曲線$y=f(x)$の接線を$l$とする．$l$と曲線$C\text{：}y=|f(x)|$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

【３−２】　方程式$x^2-2\sqrt{3}x+4=0$の解のうち虚部が正のものを$\alpha \text{，}$負のものを$\beta$とする．複素数$\gamma \text{，}$$\delta$を$\gamma =(1+\sqrt{3}i){\alpha }^2\text{，}$$\delta =(1+\sqrt{3}i){\beta }^2$とし，複素数平面上で$3$点$\mathrm{O}(0)\text{，}$$\mathrm{C}(\gamma )\text{，}$$\mathrm{D}(\delta )$を考える．

(1)　複素数$\alpha$を求めよ．さらに$\alpha$を極形式で表せ．

(2)　複素数$\gamma$を求めよ．さらに線分$\mathrm{OC}$の長さを求めよ．

(3)　$\mathrm{\angle DOC}$の大きさを求めよ．

(4)　$\mathrm{▵OCD}$の面積$S$を求めよ．