2021　南山大　外・総政2月13日実施MathJax

【１】　$$の中に答を入れよ．

(1)　$a\text{，}$$b$が実数である$2$次方程式$x^2+ax+b=0$のひとつの解が$\sqrt{2}+i$$\text{（}i$は虚数単位）のとき，$(a,b)=\text{ア}$である．また，$x^3$の係数が$1$で，定数項が$3$である実数係数の$3$次の整式$P(x)$について，$3$次方程式$P(x)=0$のひとつの解が$\sqrt{2}+i$であるとき，$P(x)=0$の実数解は$x=\text{イ}$である．

【１】　$$の中に答を入れよ．

(2)　$1$辺の長さが$4$の正四面体$\mathrm{ABCD}$において，辺$\mathrm{CD}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．このとき，$\cos \mathrm{\angle ABQ}$の値は$\text{ウ}$であり，$\mathrm{▵ABQ}$の面積は$\text{エ}$である．

【１】　$$の中に答を入れよ．

(3)　直線$y=-2x+2$が円$x^2+y^2=4$によって切り取られてできる線分の長さは$\text{オ}$である．また，点$(x,y)$が不等式$x^2+y^2\leqq 4$の表す領域を動くとき，$\sqrt{2}x+y$の最大値は$\text{カ}$である．

【１】　$$の中に答を入れよ．

(4)　${20}^{21}$は$\text{キ}$桁の整数である．また$2^n$の桁数が$13$以上となる最小の自然数$n$を求めると，$n=\text{ク}$である．ただし，${\log }_{10}2=0.3010$とする．

【１】　$$の中に答を入れよ．

(5)　$0\leqq \theta \leqq \pi$とする．このとき，不等式$-\sqrt{3}\leqq \sin \theta -\sqrt{3}\cos \theta \leqq 1$の解は$\text{ケ}$であり，また，方程式$2\sin 2\theta -2(\cos \theta -\sqrt{3}\sin \theta )-\sqrt{3}=0$の解をすべて求めると$\theta =\text{コ}$である．

【２】　$a$を実数とし，関数$f(x)=x^3-{\displaystyle \frac{3}{2}}{x}^2+3ax$を考える．$xy$平面上に，曲線$C\text{：}y=f(x)$と点$\mathrm{A}$$(-1,3)$がある．

(1)　$C$上の点$(t,f(t))$における$C$の接線の方程式を求めよ．

(2)　$\mathrm{A}$を通る直線が$C$と点$(t,f(t))$で接するとき，$a$を$t$で表せ．

(3)　$\mathrm{A}$を通り，$C$と接する直線が$3$本あるような$a$の値の範囲を求めよ．

(4)　$\mathrm{A}$を通る直線$l$が，$C$と点$(0,0)$で接するものとする．このときの$a$の値と，$C$と$l$で囲まれた部分の面積$S$をそれぞれ求めよ．