2021　同志社大　文，経済学部2月6日実施MathJax

【１】 　次の$$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$$の中に記入せよ．

(1)　箱の中に$1$から$7$までの異なる整数が$1$つずつ書かれたカードが$7$枚入っている．箱からカードを$1$枚取り出し，カードに書かれた整数を記録して箱に戻すという試行を$3$回繰り返す．$1\text{，}$$2\text{，}$$3$回目に取り出したカードに書かれていた整数を，それぞれ$a\text{，}$$b\text{，}$$c$とする．

(ⅰ)　$a>b>c$となる確率は$\text{ア}$である．

(ⅱ)　$b>a$かつ$b>c$となる確率は$\text{イ}$である．

(ⅲ)　積$abc$が偶数となる確率は$\text{ウ}$である．

(ⅳ)　$a+b+c$が偶数となる確率は$\text{エ}$である．

(ⅴ)　$a+b+c\geqq 8$となる確率は$\text{オ}$である．

【１】　次の$$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$$の中に記入せよ．

(2)　$n$を自然数，$c$を実数の定数，$P(x)=x^3+2x^2+n^{2}x+c\text{，}$$Q(x)=x^3+x^2+2n^{2}x+c-n^2$とする．ある自然数$m$が$P(m)=0$と$Q(m)=0$を同時に満たすとき，$m=\text{カ}\text{，}$$n=\text{キ}\text{，}$$c=\text{ク}$である．

【１】　次の$$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$$の中に記入せよ．

(3)　関数$f(t)={\displaystyle {\int }_{-2}^2}|(x-t)(x+2t)|\mathit{dx}$とする．$t\geqq 2$のときは，$f(t)=\text{ケ}$である．また，$1\leqq t<2$のときは，$f(t)=\text{コ}$である．

【２】　$xy$平面上で，連立不等式

$y\geqq 0\text{，}$$x+y\leqq 4\text{，}$$3x+y\leqq 6\text{，}$$y-2x\leqq 6$

が表す領域を$D$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　領域$D$を図示せよ．

(2)　点$(x,y)$が領域$D$上の点全体を動くとき，$x+2y$の最大値とそのときの$x\text{，}$$y$の値を求めよ．また，$x+2y$の最小値とそのときの$x\text{，}$$y$の値を求めよ．

(3)　点$(x,y)$が領域$D$上の点全体を動くとき，$3x^2-2y$の最大値とそのときの$x\text{，}$$y$の値を求めよ．また，$3x^2-2y$の最小値とそのときの$x\text{，}$$y$の値を求めよ．

【３】　異なる$3$つの点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$が原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円$C$の円周上にあり，$2\overrightarrow{\mathrm{OP}}+(\sqrt{3}-1)\overrightarrow{\mathrm{OQ}}+\sqrt{6}\overrightarrow{\mathrm{OR}}=\overrightarrow{0}$を満たしている．ここで，点$\mathrm{P}$の座標は$(1,0)$であり，点$\mathrm{Q}$は第$1$象限内にあるとする．また，$\mathrm{▵PQR}$の重心を$\mathrm{G}$とし，$\overrightarrow{g}=\overrightarrow{\mathrm{OG}}$とおく．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{\angle QOR}\text{，}$$\mathrm{\angle ROP}$を求めよ．

(2)　$\mathrm{▵PQR}$の面積を求めよ．

(3)　動点$\mathrm{S}$が円$C$上の点全体を動くとし，$\overrightarrow{s}=\overrightarrow{\mathrm{OS}}$とおく．このとき，${\left|\overrightarrow{\mathrm{PS}}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{\mathrm{QS}}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{\mathrm{RS}}\right|}^2$を$\overrightarrow{g}$と$\overrightarrow{s}$を用いて表せ．

(4)　動点$\mathrm{S}$が円$C$上の点全体を動くとき，${\left|\overrightarrow{\mathrm{PS}}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{\mathrm{QS}}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{\mathrm{RS}}\right|}^2$の最大値を$\left|\overrightarrow{g}\right|$を用いて表せ．