2021　同志社大　文化情報学部2月27日実施MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　$a\text{，}$$b$を実数の定数とする．$3$次方程式$x^3+(a-3)x^2-(a-3)x+b=0$の実数解が$x=1$だけであるとき，$a$の値の範囲と$b$の値を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　$\tan \alpha =13\text{，}$$\tan \beta =4\text{．}$$\tan \gamma =2$のとき，$\tan (\alpha +\beta +\gamma )$を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(3)　$2^{n-1}\leqq 3^{1275}<2^n$を満たす自然数$n$をすべて求めよ．ただし，${\log }_{10}2=0.301\text{，}$${\log }_{10}3=0.477$とする．

【１】　次の問いに答えよ．

(4)　$5$個の数$a\text{，}$$1\text{，}$$3\text{，}$$9\text{，}$$10$からなるデータの分散が$12$のとき，$a$の値とこのデータの平均値を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(5)　さいころを$n$回続けて投げるとき，$k$回日に出る目の数を$X_k$とし，$Y_n$を

$Y_n=X_1+X_2+\cdots +X_n$

とする．$Y_n$が$7$で割り切れる確率を$p_n$とする．このとき，$p_n$を求めよ．

【２】　$f(x)=x^2-{\displaystyle \frac{3}{2}}$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)　$f(x)=x$の$2$つの解を$\alpha \text{，}$$\beta$$\text{（}\alpha <\beta \text{）}$とする．このとき，$\alpha \text{，}$$\beta$の値を求めよ．

(2)　$f(f(\alpha ))$の値を求めよ．

(3)　関数$f(f(x))$を求めよ．

(4)　方程式$f(f(x))=x$の解を求めよ．

【３】　$t>0$とし，関数

$f(t)={({\log }_{2}t)}^2({\log }_2{t}^4+{\displaystyle \frac{4}{3}}{\log }_{4}8)-3{\log }_{2}4t+5$

を考える．

　$x={\log }_{2}t$とおき，関数$g(x)$を$g(x)=f(2^x)$によって定義する．曲線$C_1$を$y=g(x)$とし，$C_2$と$x$軸との交点のうちもっとも小さい$x$座標を$\alpha$とする．点$\mathrm{A}$$(\alpha ,g(\alpha ))$を通る$C_1$の$2$つの接線を，傾きが小さい順に$l\text{，}$$m$とおく．$C_1$と$l$との交点のうち$\mathrm{A}$でない点を$\mathrm{B}\text{，}$$m$に対して点$\mathrm{B}$と対称な点を$\mathrm{C}$とし，曲線$C_1$と直線$m$に囲まれた部分の面積を$S$とする．また，点$\mathrm{C}$を中心とし，面積が$\pi S$となる円を$C_2$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$\alpha$の値を求めよ．また，$x=\alpha$をみたす$t$の値を求めよ．

(2)　直線$l$の方程式を求めよ．

(3)　面積$S$を求めよ．

(4)　円$C_2$の半径$r$を求めよ．また，$C_2$の方程式を求めよ．