2021　立命館大学　理系学部Ａ方式2月2日実施MathJax

2021-14891-0301

2021　立命館大学　理系学部Ａ方式
（薬学部を除く）2月2日実施

易□　並□　難□

【１】　図のように，同じ大きさの立方体を $15$ 個積んでできた立体図形を考える．点 $A$ から指定された点まで立方体の辺に沿って最短距離で行く経路のみを考える．

[１](a)　点 $A$ から点 $P$ までの経路は $ア$ 通り，点 $A$ から点 $B$ までの経路は $イ$ 通りであり，点 $A$ から点 $P$ を通って点 $B$ まで至る経路は $ウ$ 通りある．

(b)　点 $A$ から点 $C$ までの経路は $エ$ 通りあり，そのうち点 $P$ と点 $R$ の両方を通る経路は $オ$ 通りある．

(c)　点 $A$ から点 $D$ までの経路は $カ$ 通りある．

[２]　点 $A$ から点 $C$ までの経路の選び方がすべて同様に確からしいとしたとき，点 $A$ から出発して点 $C$ に到着するという条件の下で，点 $P$ と点 $R$ の両方を通る確率は $キ$ であり，点 $A$ から出発して点 $P$ を通って点 $C$ に到着するという条件の下で点 $R$ を通る確率は $ク$ である．

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2021　立命館大学　理系学部Ａ方式
（薬学部を除く）2月2日実施

易□　並□　難□

【２】　 $a$ を正の実数とする．座標平面内で $x$ 軸上の点 $P$ $(a, 0)$ と放物線 $C ： x = y^{2}$ 上の点 $Q$ $(x, y)$ との距離を $x$ を用いて表すと $ア$ となる．これを $x$ の関数として $f (x)$ と表す．

　 $a ≦ イ$ のとき， $f (x)$ は $x = ウ$ で最小値 $エ$ をもち， $2$ 点 $P$ と $Q$ の距離が最小となる放物線 $C$ 上の点 $Q$ は $オ$ 個でその点の座標は $カ$ である．（ $カ$ には，点の個数 $オ$ に応じて，その点の座標をすべて答えよ．）

　また， $a > イ$ のとき， $f (x)$ は $x = キ$ で最小値 $ク$ をもち， $2$ 点 $P$ と $Q$ の距離が最小となる放物線 $C$ 上の点 $Q$ は $ケ$ 個でその点の座標は $コ$ である．（ $コ$ には，点の個数 $ケ$ に応じて，その点の座標をすべて答えよ．）

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2021　立命館大学　理系学部Ａ方式
（薬学部を除く）2月2日実施

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【３】　 $ω$ は複素数で $ω^{5} = 1$ を満たし， $ω = \cos θ + i \sin θ$ $（ 0 ≦ θ < 2 π ）$ と極形式表示したとき， $\cos θ > 0 ，$ $\sin θ > 0$ であるとする．このとき， $θ = ア$ となり， $1 + ω + ω^{2} + ω^{3} + ω^{4} = イ$ である．

　複素数 $z$ に対して，

$(1 - ω z) (1 - ω^{2} z) (1 - ω^{3} z) (1 - ω^{4} z)$

$= 1 + ウ z + エ z^{2} + オ z^{3} + カ z^{4}$

であるので， $α$ が複素数であるとき， $z = α ，$ $ω α ，$ $ω^{2} α ，$ $ω^{3} α ，$ $ω^{4} α$ を代入することによって

$(1 - ω α) (1 - ω^{2} α) (1 - ω^{3} α) (1 - ω^{4} α)$

$+ (1 - ω α) (1 - ω^{2} α) (1 - ω^{3} α) (1 - ω^{5} α)$

$+ (1 - ω α) (1 - ω^{2} α) (1 - ω^{4} α) (1 - ω^{5} α)$

$+ (1 - ω α) (1 - ω^{3} α) (1 - ω^{4} α) (1 - ω^{5} α)$

$+ (1 - ω^{2} α) (1 - ω^{3} α) (1 - ω^{4} α) (1 - ω^{5} α)$

$= キ \dots$ (＊)

となる．

　特に， $α = \cos \frac{π}{15} + i \sin \frac{π}{15}$ であるとき，

$(1 - ω α) (1 - ω^{2} α) (1 - ω^{3} α) (1 - ω^{4} α) (1 - ω^{5} α)$

$= ク - i ケ \dots$ (＊＊)

となる．このとき，式(＊)，(＊＊)に注意すると

$\frac{1}{1 - ω α} + \frac{1}{1 - ω^{2} α} + \frac{1}{1 - ω^{3} α}$ $+ \frac{1}{1 - ω^{4} α}$ $+ \frac{1}{1 - ω^{5} α}$

$= コ + i サ$

となる．

　（ $ア〜$ $サ$ には実数をいれること）

2021-14891-0304

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（薬学部を除く）2月2日実施

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【４】　 $n$ を自然数とし， $- 1 < x < 1$ で関数 $T_{n} (x)$ と $U_{n} (x)$ をそれぞれ

$T_{n} (\cos θ) = \cos n θ ，$ $U_{n} (\cos θ) = \frac{\sin n θ}{\sin θ}$

を満たすように定める．ただし， $0 < θ < π$ とする．このとき

$\lim_{x \to 1 - 0} T_{n} (x) = ア，$ $\lim_{x \to 1 - 0} U_{n} (x) = イ$

である．

　三角関数の加法定理を用いると

$T_{n + 1} (x) = ウ T_{n} (x) - エ U_{n} (x)$

および

$U_{n + 1} (x) = T_{n} (x) + オ U_{n} (x)$

が成り立ち， $U_{n} (x)$ が満たす漸化式として

$U_{n + 2} (x) = カ U_{n + 1} (x) - U_{n} (x)$

が得られる．また，

$x^{2} = キ U_{3} (x) + ク U_{1} (x) ，$

$x^{3} = ケ U_{4} (x) + コ U_{2} (x)$

である．（ $キ〜$ $コ$ には実数をいれること）

2021 立命館大 理系学部Ａ方式2月2日実施MathJax

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