2021　立命館大　理系学部Ａ方式2月3日実施MathJax

【１】　コインを投げて表が出たら$1$点，裏が出たら$-1$点とするゲームを考える．自然数$n$に対し，$X_n$はこのルールの下での$n$回のコイン投げによる点数の合計を表すものとする．ゲームを始めるときの点数は$0$点とし，$X_0=0$とおく．なお，このコイン投げでは表が出る確率は$p$$\text{（}0<p<1\text{）}$とする．

〔１〕　$X_3$が正である確率は$\text{ア}$であり，$X_4=0$である確率は$\text{イ}$である．

〔２〕　自然数$n$に対し，$Y_n=X_n-X_{n-1}$とおく．$Y_1$と$Y_2$の積が$1$である確率は$\text{ウ}$であり，$Y_1$と$Y_2$と$Y_3$の積が$-1$である確率は$\text{エ}$である．

〔３〕　自然数$m$を$2$進法で表現したとき，$m$は，数字$0$と$1$を用いて表すことができる．例えば，$3={11}_{(2)}\text{，}$$6={110}_{(2)}$と表せる．$2^{k-1}$（$k$は自然数）の位の数字が$1$であるとき，その位に対して〔２〕で定めた$Y_k=X_k-X_{k-1}$を対応させる．

　これらの$Y_k$の積を$Z_m$とする．すなわち$Z_3=Y_2{Y}_1\text{，}$$Z_6=Y_3{Y}_2$である．このとき，$Z_9=\text{オ}$であり，$Z_1{Z}_3{Z}_5=\text{カ}$である．また，$Z_7=1$である確率は$\text{キ}$であり，$Z_{17}=-1$である確率は$\text{ク}$である．

　$\text{キ}={\displaystyle \frac{1}{2}}$となるとき，$p=\text{ケ}$である．このとき$Z_m=1$である確率が${\displaystyle \frac{1}{2}}$であるような$m$を一番小さいものから順に並べて$l$番目までを足したときの和は$\text{コ}$となる．ただし$l$は自然数である．

　（$\text{オ}$と$\text{カ}$は$Y_1\text{，}$$Y_2\text{，}$$\cdots$を用いて表すこと）

【２】　原点を$\mathrm{O}$とする座標空間において，$3$点$\mathrm{A}$$(a,0,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(0,b,0)\text{，}$$\mathrm{C}$$(0,0,c)$を考える．ただし，$a>0\text{，}$$b>0\text{，}$$c>0$である．

　四面体$\mathrm{OABC}$に内接する球の半径を求める．

　三角形$\mathrm{ABC}$を含む平面$\alpha$に垂直なベクトルを$\overrightarrow{n}=(1,s,t)$とすると，$\overrightarrow{n}\perp \overrightarrow{\mathrm{AB}}$より$s=\text{ア}$であり，$\overrightarrow{n}\perp \overrightarrow{\mathrm{AC}}$より，$t=\text{イ}$である．ゆえに，平面$\alpha$上の任意の点$\mathrm{R}$の座標を$(x,y,z)$とすると，$\overrightarrow{n}\perp \overrightarrow{\mathrm{RA}}$より，$x\text{，}$$y\text{，}$$z$は

$\text{ウ}x+\text{エ}y+\text{オ}z=1$

の関係式を満たす．

　内接する球の半径を$r$とすると，球の中心$\mathrm{P}$の座標は，$(\text{カ},\text{キ},\text{ク})$となる．四面体$\mathrm{OABC}$に内接する球と三角形$\mathrm{ABC}$との接点を$\mathrm{Q}$$(x_1.y_1,z_1)$とすると，$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=(x_1-\text{カ},y_1-\text{キ},z_1-\text{ク})$は$\overrightarrow{n}$と平行であるので，$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=k\overrightarrow{n}$$\text{（}k>0\text{)}$を満たす．よって，$x_1=\text{カ}+k\text{，}$$y_1=\text{キ}+k\text{ア}\text{，}$$z_1=\text{ク}+k\text{イ}$である．点$\mathrm{Q}$は平面$\alpha$上の点であるので，

$k={\displaystyle \frac{\text{ケ}}{1+{\displaystyle \frac{a^2}{b^2}}+{\displaystyle \frac{a^2}{c^2}}}}$

が得られる．この式と$\left|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\right|=\text{カ}$であることより$r$が得られる．例えば，$a=1\text{，}$$b=1\text{，}$$c=2$のとき，$r=\text{コ}$となる．また，$a=b=c=1$であるとき，原点から平面$\alpha$に下ろした垂線と平面$\alpha$との交点を$\mathrm{H}$とするとその座標は$(\text{サ},\text{シ},\text{ス})$となり，$\left|\overrightarrow{\mathrm{OH}}\right|=\text{セ}\text{，}$$r=\text{ソ}$である．

　（$\text{ア}\text{〜}$$\text{ケ}$は$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$r$のいずれかを用いて表すこと）

【３】　各自然数$k$に対し，閉区間$[k-1,k]$での関数$f_k(x)$を，$f_k(x)=\log k$$\text{（}k-1\leqq x\leqq k\text{）}$と定める．また，$n$は$2$以上の自然数とする．任意の実数$x$に対し，$e^x=\exp (x)$と表す．

〔１〕

$\exp ({\displaystyle {\int }_0^1}{f}_1(x)\mathit{dx})=\text{ア}$

であり

$\exp ({\displaystyle {\int }_{k-1}^k}{f}_k(x)\mathit{dx})=\text{イ}$

である．また，$2$以上の自然数$n$について

$\exp ({\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle {\int }_{k-1}^k}{f}_k(x)\mathit{dx})=\text{ウ}$

である．

〔２〕　$2$以上のすべての自然数$k$と$k-1\leqq x\leqq k$を満たすすべての$x$に対して$\log (x+y)\leqq f_k(x)$を常に満たす実数$y$のうち最大のものを$a$とする．また，すべての自然数$k$と$k-1\leqq x\leqq k$を満たすすべての$x$に対して$f_k(x)\leqq \log (x+y)$を常に満たす実数$y$のうち最小のものを$b$とする．このとき，$a=\text{エ}\text{，}$$b=\text{オ}$である．

〔３〕　区間$[0,\infty )$上の関数$g(x)\text{，}$$h(x)$を，〔２〕で求めた$a\text{，}$$b$の値を用いて

$g(x)=\{\begin{array}{ll}0& \text{（}0\leqq x\leqq 1-\text{エ}\text{）}\\ \log (x+\text{エ})& \text{（}x>1-\text{エ}\text{）}\end{array}$

$h(x)=\log (x+\text{オ})$$\text{（}x\geqq 0\text{）}$

と定めると

$\exp ({\displaystyle {\int }_0^n}g(x)\mathit{dx})=\text{カ}\text{，}$

である．

〔４〕　自然対数の底$e$の定義より，$n$に無関係な$p=\text{ク}$に対して

$\underset{n\to \infty }{\lim }{n}^p{\displaystyle \frac{\text{キ}}{\text{カ}}}=1$

が成り立つ．

【４】　関数$f(x)=\sqrt{1+x^2}$$\text{（}x\geqq 0\text{）}$について，第$1$次導関数と第$2$次導関数はそれぞれ${\displaystyle \frac{d}{\mathit{dx}}}f(x)=\text{ア}\text{，}$${\displaystyle \frac{d^2}{{\mathit{dx}}^2}}f(x)=\text{イ}$である．このとき

$\underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{d}{\mathit{dx}}}f(x)=\text{ウ}$

となる．

　関数$f(x)$の第$2$次導関数が正なので，${\displaystyle \frac{d}{\mathit{dx}}}f(x)$は単調に増加する．したがって

$y={\displaystyle \frac{d}{\mathit{dx}}}f(x)$$\text{（}x>0\text{）}$

とおいたとき，$y$の値域は$\text{エ}<y<\text{オ}$となる．

　さらに${\displaystyle \frac{d}{\mathit{dx}}}f(x)=y$を$x$について解き，$x=g(y)$とおく．このとき，$y$を用いて表すと$g(y)=\text{カ}$であり，その第$1$次導関数は${\displaystyle \frac{d}{\mathit{dy}}}g(y)=\text{キ}$である．

　関数$h(y)$を$h(y)=f(g(y))-yg(y)$$\text{（}\text{エ}<y<\text{オ}\text{）}$とおくと，その第$1$次導関数は${\displaystyle \frac{d}{\mathit{dy}}}h(y)=\text{ク}$であり，$y={\displaystyle \frac{d}{\mathit{dx}}}f(x)$であるとき，

$({\displaystyle \frac{d^2}{{\mathit{dx}}^2}}f(x))({\displaystyle \frac{d^2}{{\mathit{dy}}^2}}h(y))=\text{ケ}$

となる．ただし，$\text{ケ}$は実数で答えよ．