2021　関西大　全学日程理系2月2日実施MathJax

(1)　$n$と$l$の交点を$\mathrm{P}$とし，$\mathrm{P}$の$x$座標を$s$とする．また，$n$と$m$の交点を$\mathrm{Q}$とし，$\mathrm{Q}$の$x$座標を$t$とする．$s$および$t$を$a$を用いた式で表せ．

(2)　$\mathrm{O}$を原点とする．$\mathrm{▵OPQ}$の面積を求めよ．

(3)　$C$と$x$軸および$2$直線$x=s\text{，}$$x=t$で囲まれた部分が，$x$軸の周りに$1$回転してできる回転体の体積を$a$を用いた式で表せ．

　$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$を頂点とし，

$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=1$

となる四面体$\mathrm{OABC}$を考える．また，

$\alpha =\mathrm{\angle AOC}\text{．}$$\beta =\mathrm{\angle BOC}\text{，}$$\gamma =\mathrm{\angle AOB}$

とおく．$\mathrm{O}$から平面$\mathrm{ABC}$に垂線$\mathrm{OH}$を下ろすと．$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$は実数$s\text{．}$$t$を用いて，

$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}+(\text{①})\overrightarrow{\mathrm{OC}}$

と表すことができる．ここで，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{CA}}=0\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OH}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{CB}}=0$となるから，$s\text{．}$$t$は連立方程式

$(\text{②})s+(\text{③}+\cos \gamma +1)t=1-cos\alpha \text{．}$

$(\text{③}+\cos \gamma +1)s+(\text{④})t=1-\cos \beta$

を満たす．$a=1-\cos \alpha \text{，}$$b=1-\cos \beta \text{．}$$c=1-\cos \gamma$とおくと，$(s,t)$は$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を用いて，

$(s,t)$$={\displaystyle \frac{\mathrm{１}}{a^2+b^2+c^2-2ab-2bc-2ca}}((\text{⑤})b.(\text{⑥})a)$

と表される．とくに，$\alpha =\beta =\gamma$のとき，$s\text{，}$$t$の値はともに$\text{⑦}$である．

${({\alpha }^2+3\alpha \beta )}^2-9{\beta }^4=0$

を満たすとする．次の問いに答えよ．

(1)　$t={\displaystyle \frac{\alpha }{\beta }}$とおく．$t$の値を求めよ．

(2)　複素数平面上の原点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}(\alpha )\text{，}$$\mathrm{B}(\beta )$が同一直線上にあるとき，${\displaystyle \frac{\mathrm{OA}}{\mathrm{OB}}}$の値を求めよ．

(3)　複素数平面上の原点$\mathrm{O}\text{．}$$\mathrm{A}(\alpha )\text{．}$$\mathrm{B}(\beta )$が同一直線上にはないとき，${\displaystyle \frac{\alpha }{\beta }}$を極形式で

${\displaystyle \frac{\alpha }{\beta }}=r(\cos \theta +i\sin \theta )$

と表す．ただし，$i$は虚数単位である．このとき．$r\text{．}$$\cos \theta \text{．}$$\sin \theta$の値を求めよ．さらに，${\displaystyle \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{OB}}}$の値を求めよ．