2021　関西大学　全学日程文系2月5日実施MathJax

2021-14991-0301

2021　関西大学　全学日程文系

2月5日実施

易□　並□　難□

【１】　 $▵OAB$ において， $\vec{OA} = \vec{a} ，$ $\vec{OB} = \vec{b}$ とおく．辺 $OA$ を $p : (1 - p)$ に内分する点を $P ，$ 辺 $OB$ を $q : (1 - q)$ に外分する点を $Q$ とおき，辺 $AB$ と線分 $PQ$ の交点を $R$ とする．ただし， $0 < p < 1 ，$ $\frac{1}{2} < q < 1$ とする．次の問いに答えよ．

(1)　 $\vec{OQ}$ を $\vec{b}$ と $q$ を用いて表せ．

(2)　 $q = \frac{3}{4}$ とするとき， $\vec{OR}$ を $\vec{a} ，$ $\vec{b} ，$ $p$ を用いて表せ．

(3)　(2)の条件のもとで， $▵OAB$ の重心が線分 $OR$ 上にあるとき， $p$ の値を求めよ．

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2月5日実施

易□　並□　難□

【２】　方程式 $x^{3} - 1 = 0$ の解で虚部が正となる複素数を $ω$ とおく．次のをうめよ．ただし， $①$ 以外はすべて実数値でうめよ．

　 $ω^{2}$ も $x^{3} - 1 = 0$ の解なので， $ω$ と $ω^{2}$ を解にもつ $x$ の $2$ 次方程式で $x^{2}$ の係数が $1$ のものは， $① = 0$ である．よって， $ω = ② + ③ i$ である．ただし $i$ は虚数単位とする．

　自然数 $n$ に対して

$S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} {(1 + ω)}^{k}$ $= (1 + ω) + {(1 + ω)}^{2}$ $+ \dots + {(1 + ω)}^{n}$

とおく． $6$ で割ったときの余りが $3$ となる $n$ に対して

$S_{n} = - 1 + ④ i$

となる．また， $6$ で割ったときの余りが $4$ となる $n$ に対して

$S_{n} = ⑤ + \frac{\sqrt{3}}{2} i$

となる．

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2月5日実施

易□　並□　難□

【３】　関数 $f (x) = x^{4} - 21 x + 20$ を考える．次のをうめよ．

　 $f (x) = 0$ となる $x$ をすべて求めると $x = ①$ である． $f (x)$ は $x = ②$ で極大となり， $x = ③$ で極小となる．

　 $a$ を実数とし， $a ≦ x ≦ a + 4$ における $f (x)$ の最大値を $M (a) ，$ 最小値を $m (a)$ とする．例えば $M (- 3) = ④ ，$ $m (- 3) ＝ ⑤$ である． $a$ が実数全体を動くとき， $M (a) = f (a)$ かつ $m (a) = f (a + 4)$ を満たすような $a$ の値の範囲は $⑥ ≦ a ≦ ⑦$ である．

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