2021　関西大　全学日程総合情報学部2月1日実施MathJax

【１】　$f(x)={\displaystyle {\int }_0^x}3t|t-2|\mathit{dt}$とおき，曲線$C\text{：}y=f(x)$と直線$l\text{：}y=x+5$を考える．

(1)　$f(x)$を求めよ．

(2)　$C$と$l$は$2$つの共有点をもつことを示せ．

(3)　$C$と$l$によって囲まれる部分の面積を求めよ．

【２】　$a\text{，}$$b\text{，}$$p\text{，}$$q$を実数とする．ただし$p<q$とする．$x$の整式$f(x)=(x^2+ax+b)(x^2-2x+3)$が$x-p$でも$x-q$でも割り切れるとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a$と$b$をそれぞれ$p\text{，}$$q$を用いて表せ．

(2)　$p<r<q$をみたす実数$r$に対して，$f(r)=(r^2+ar+b)(r^2-2r+3)$の符号を調べよ．

【３】　数列$\{a_n\}$が$a_1=6\text{，}$$a_n=a_{n-1}-n^2-7n$$\text{（}n=2\text{，}$$3\text{，}$$4\text{，}$$\cdots \text{）}$を満たしているとき，次の$$をうめよ．

(1)　$a_2=\text{①}\text{，}$$a_3=\text{②}$である．また，一般項$a_n$を$n$を用いて表すと$a_n=\text{③}$となる．

(2)　$a_n$は$n=\text{④}$または$n=\text{⑤}$のとき，最大値$\text{⑥}$をとる．

(3)　$a_n\leqq 0$となるような最小の$n$は$n=\text{⑦}$である．

【４】　$\mathrm{▵ABC}$において辺$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{D}$とし，点$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{F}$をそれぞれ$\mathrm{BC}\text{，}$$\mathrm{CA}$上にとる．また，$\mathrm{▵ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{b}$とおくとき，次の$$をうめよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\text{①}\overrightarrow{a}+\text{②}\overrightarrow{b}$であり，$\overrightarrow{\mathrm{AG}}=\text{③}\overrightarrow{a}+\text{④}\overrightarrow{b}$である．

(2)　$\mathrm{AF}:\mathrm{FC}=1:2$で$\mathrm{▵DEF}$の重心が$\mathrm{G}$と一致するとき，$\overrightarrow{\mathrm{AE}}=\text{⑤}\overrightarrow{a}+\text{⑥}\overrightarrow{b}$である．

(3)　$\mathrm{AF}:\mathrm{FC}=2:1\text{，}$$\mathrm{BE}:\mathrm{EC}=1:2$のとき，$\mathrm{▵DEF}$の重心を${\mathrm{G}}^{\prime }$とすれば，$\overrightarrow{\mathrm{G}{\mathrm{G}}^{\prime }}=\text{⑦}\overrightarrow{a}+\text{⑧}\overrightarrow{b}$である．