2021　関西大　全学日程文系2月2日実施MathJax

【１】　三角形$\mathrm{ABC}$の辺の長さを$\mathrm{BC}=a\text{，}$$\mathrm{CA}=b\text{，}$$\mathrm{AB}=c$とする．ただし，$a\text{，}$$b\text{，}$$c$はつねに$a^2-b^2=2c^2$を満たすものとする．次の問いに答えよ．

(1)　$\cos C$を$a\text{，}$$b$を用いて表せ．

(2)　$a\text{．}$$b\text{．}$$c$が変化するとき，$\mathrm{\angle ACB}$のとり得る最大の角度を求めよ．

(3)　$\mathrm{\angle ACB}$を(2)で求めた角度とする．三角形$\mathrm{ABC}$の内接円の半径$r$が$1$であるとき，$a$の値を求めよ．

【２】　$i$を虚数単位とし，$a\text{，}$$b$は実数とする．次の$$をうめよ．

　$3$次方程式$x^3+a{x}^2+bx+40=0$が$-1+3i$を解にもつとき，$a=\text{①}\text{，}$$b=\text{②}$である．このとき，他の解を求めると$\text{③}$と$\text{④}$である．ただし，$\text{④}$は実数である．

　$\alpha =-1+3i\text{，}$$\beta =\text{③}\text{，}$$\gamma =\text{④}$とおくとき

${\alpha }^3+{\beta }^3+{\gamma }^3=\text{⑤}\text{，}$${\displaystyle \frac{1}{\alpha }}+{\displaystyle \frac{1}{\beta }}+{\displaystyle \frac{1}{\gamma }}=\text{⑥}$

である．

【３】　$k$を$3$以上の整数とする．次の条件によって定まる数列$\{a_n\}$を考える．

$a_1=k+3\text{，}$$a_{n+1}=a_n+2$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

次の$$をうめよ．ただし，$\text{④}$と$\text{⑤}$は$k$のみの式でうめよ．

　$a_n$を$n$と$k$で表すと$a_n=\text{①}$である．さらに，次の条件によって定まる数列$\{b_n\}$を考える．

$b_1=k+1\text{，}$$b_{n+1}=b_n+a_n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

$b_n$を$n$と$k$で表すと$b_n=\text{②}$である．

　以下では$N$を正の整数とする．このとき

${\displaystyle \sum _{n=1}^N}{b}_n={\displaystyle \frac{N(N+1)}{6}}\times (\text{③})$

である．また

${\displaystyle \frac{1}{b_n+k-1}}=(\text{④})({\displaystyle \frac{1}{n+1}}-{\displaystyle \frac{1}{n+\text{⑤}}})$

であるので，$S_n={\displaystyle \sum _{n=1}^N}{\displaystyle \frac{1}{b_n+k-1}}$とおくと，$S_N$を計算することができる．$k=3$とするとき$S_N$を$N$のみの式で表すと，$S_N={\displaystyle \frac{N}{\text{⑥}}}$である．