2021　関西大学　総合情報学部2月4日実施MathJax

2021-14991-0701

2021　関西大学　総合情報学部

2月4日実施

易□　並□　難□

【１】　 $- \frac{π}{2} ≦ θ ≦ 0$ なる $θ$ に対して $x = \sin θ + \cos θ ，$ $y = \sin^{3} θ + \cos^{3} θ$ とおく．

(1)　 $y$ を $x$ を用いて表せ．

(2)　 $x$ のとりうる値の範囲を求めよ．

(3)　 $y$ のとりうる値の範囲を求めよ．

(4)　 $y = - \frac{13}{27}$ のとき， $\tan θ$ の値を求めよ．

2021-14991-0702

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2月4日実施

易□　並□　難□

【２】　 $a ，$ $b ，$ $c$ を実数とするとき，次の不等式を証明せよ．また，等号が成立するための必要十分条件を述べよ．

(1)　 $a^{2} + b^{2} + c^{2} ≧ a b + b c + c a$

(2)　 $a^{4} + b^{4} + c^{4} ≧ a b c (a + b + c)$

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2月4日実施

易□　並□　難□

【３】　 $AB = AC = 1 ，$ $∠BAC = \frac{π}{2}$ である直角三角形 $ABC$ がある．サイコロを $3$ 回投げて出た目を順に $a ，$ $b ，$ $c$ とし，点 $P$ を $\vec{AP} = \frac{a \vec{AB} + c \vec{AC}}{a + b}$ によって定める．次のをうめよ．ただし， $① ，$ $③ ，$ $⑤$ は $a ，$ $b ，$ $c$ を用いて表せ．

(1)　点 $P$ が線分 $BC$ 上の点であるための条件は $①$ であり，その確率は $②$ である．

(2)　点 $P$ が $▵ABC$ の周および内部にあるための条件は $③$ であり，その確率は $④$ である．

(3)　 $▵ABP$ の面積が $1$ 以上となるための条件は $⑤$ であり，その確率は $⑥$ である．

2021-14991-0704

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【４】　数列 ${a_{n})$ は $a_{1} = \frac{7}{2} ，$ $n a_{n + 1} = (n + 2) a_{n} + 1$ $（ n = 1 ，$ $2 ，$ $3 ，$ $\dots ）$ を満たしている． $b_{n} = \frac{a_{n}}{n (n + 1)}$ とおくとき，次のをうめよ．

　 $b_{n + 1} - b_{n} = \frac{1}{①} = \frac{1}{2 n (n + 1)} - \frac{1}{②}$ となるので， $b_{n}$ を $n$ を用いて表せば $b_{n} = ③$ となる．従って $a_{n} = ④$ である．また $\sum_{k = 1}^{n} a_{k} = ⑤ ，$ $\sum_{k = 1}^{n} b_{k} = ⑥$ である．