2021　関西大　全学日程文系2月6日実施MathJax

(1)　$f(x)$の極値を求めよ．

(2)　直線$y=k$と曲線$y=f(x)$の共有点が$1$つだけになるような定数$k$の値の範囲を求めよ．

(3)　直線$y=kx-{\displaystyle \frac{1}{2}}$と曲線$y=f(x)$の共有点が$1$つだけになるような定数$k$の値の範囲を求めよ．

　$C$の半径は$\text{①}$である．点$(x,y)$が$C$全体を動くとき，$X=x+y$のとり得る値の範囲は

$0\leqq X\leqq \text{②}$

である．

　ここで$Y=xy$とおく．点$(x,y)$が$C$全体を動くとき，点$(X,Y)$の軌跡の方程式を$X\text{，}$$Y$で表すと

$Y={\displaystyle \frac{1}{2}}(\text{③})$

である．このとき$Y$は最小値$\text{④}\text{，}$最大値$\text{⑤}$をとる．また$XY$平面上で，曲線$Y=|{\displaystyle \frac{1}{2}}(\text{③})|$と$X$軸と直線$X=\text{②}$とで囲まれた$2$つの図形の面積の和は$\text{⑥}$である．

　分母を有理化して

${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}}=\sqrt{\text{①}}-\sqrt{\text{②}}$

と表すことができる．これを用いて和

${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}}$

を計算すると，この和は$n$を用いて$\text{③}$と表される．同じ考え方により，和

${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{3k^2+3k+1}{{(k+1)}^{\frac{3}{2}}+k^{\frac{3}{2}}}}$

を計算すると，この和は$n$を用いて$\text{④}$と表される．

　正の整数$l$に対して，$n=4^l-1$とすると，$\text{④}=2^{\text{⑤}}-1$となる．したがって，$n=4^l-1$のとき$\text{④}$が$69$桁の整数となるような$l$の値は$\text{⑥}$である．ただし，必要ならば${\log }_{10}2=0.3010$を用いてもよい．