2021　関西大　全学日程共通テスト利用理系2月7日実施MathJax

$a_1=c\text{，}$$a_{n+1}-2a_n=4^n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

により定められているとする．次の問いに答えよ．

(1)　$b_n={\displaystyle \frac{a_n}{2^n}}$とおく．$b_{n+1}$を$b_n$を用いた式で表せ．

(2)　$c=2$のとき，$a_n$を$n$を用いた式で表せ．

(3)　$c=-{10}^{100}$のとき，$a_n\geqq 0$となる最小の$n$を求めよ．ただし，${\log }_{10}2=0.3010$とする．

　$l$と$C$が接するのは$a=\text{①}\text{，}$$\text{②}$のときである．ただし，$\text{①}<\text{②}$とする．

　$l$と$C$が異なる$2$つの共有点をもつための必要十分条件は，

$\text{③}<a<\text{①}$

または

$\text{②}<a<\text{④}$

である．

　$l$と$C$が異なる$2$つの共有点をもつとき，$2$つの共有点の中点を$\mathrm{M}$とおく．このとき，$\mathrm{M}$の$x$座標は$a$を用いた式で$\text{⑤}$と表される．さらに，$\mathrm{M}$は$a$の値によらず，曲線$x=\text{⑥}$上の点である．ただし，$\text{⑥}$は$x$を含まない$y$のみの式とする．

　$C$と$x$軸および直線$x=\text{⑤}$で囲まれた図形の面積を$S(a)$とおく．$a=\text{④}$のとき，$S(a)$の値は$\text{⑦}$である．

(1)　線分$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{C}$とおく．$\mathrm{C}$の座標を$a$を用いて表せ．

(2)　$\mathrm{C}$を通り，直線$\mathrm{AB}$と直交する直線が$y$軸と交わる点を$\mathrm{D}$とおく．直線$\mathrm{AD}$が$x$軸と平行となるときの$a$の値を求めよ．

(3)　直線$\mathrm{AD}$が$x$軸と平行となるとき，直線$\mathrm{AD}\text{，}$$y$軸および曲線$y=\log (x+1)$で囲まれた図形の面積を求めよ．

$\underset{x\to \infty }{\lim }\{\sqrt{4x^2+5x+6}-(ax+b)\}=0$

が成り立つとき，$(a,b)=\text{①}$である．

$\alpha =\sqrt{3}+i\text{，}$$\beta =(\sqrt{3}-1)+(\sqrt{3}+1)i$

とおく．このとき，${\displaystyle \frac{\beta }{\alpha }}$の偏角は$\text{②}$であり，$\beta$の偏角は$\text{③}$である．ただし，複素数$z$の偏角$\theta$は，$0\leqq \theta <2\pi$の範囲で考える．

$f(\theta )={(\sin \theta +{\displaystyle \frac{1}{2\sin \theta }})}^2+{(\cos \theta +{\displaystyle \frac{1}{3\cos \theta }})}^2$$(0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$

の最小値は$\text{⑤}$である．