2021　関西大　全学日程総合情報学部2月6日実施MathJax

(1)　$2b=4a+c$が成り立つことを示せ．

(2)　$g(x)$を$x+2$で割った余りが$4$であるとき，$b\text{，}$$c$それぞれを$a$を用いて表せ．

(3)　(2)のとき，$2$曲線$y=f(x)\text{，}$$y=g(x)$の共有点がちょうど$2$つとなるときの$a$の値を求めよ．また，そのときの$y=f(x)$と$y=g(x)$で囲まれる部分の面積を求めよ．

(1)　$\cos C={\sin }^2{\displaystyle \frac{A+B}{2}}-{\cos }^2{\displaystyle \frac{A+B}{2}}$であることを加法定理を用いて示せ．

(2)　$\cos A+\cos B+\cos C>1$であることを示せ．

(3)　$A=B$のとき，$\cos A+\cos B+\cos C$の最大値を求めよ．また，そのときの$A\text{，}$$B\text{，}$$C$の値を求めよ．

　空間に$3$点$\mathrm{A}$$(a,0,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(0,b,0)\text{，}$$\mathrm{C}$$(0,0,c)$がある．ただし$abc\ne 0$とする．$\mathrm{O}$を原点とするとき，$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$を通る平面$\pi$上の点$\mathrm{P}$で$\mathrm{OP}$が$\pi$と直交するものを求めよう．$\mathrm{P}$は$\pi$上の点なので$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=s\overrightarrow{\mathrm{AB}}+t\overrightarrow{\mathrm{AC}}$となる実数$s\text{，}$$t$がある．このとき$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$との内積を$s\text{，}$$t$を用いて表せば，それぞれ$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=\text{①}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\text{②}$となる．$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$は$\pi$と直交するから，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=0$および$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=0$が成り立つ．$a=1\text{，}$$b=\sqrt{2}\text{，}$$c=\sqrt{3}$のときに，この$2$式から$s\text{，}$$t$を求めると，$s=\text{③}\text{，}$$t=\text{④}$が得られ，従って$\mathrm{P}$の座標は$\text{⑤}$である．

(1)　$2$本とも当たりである確率は$\text{①}$である．

(2)　$1$本だけ当たりである確率は$\text{②}$である．

(3)　$2$本とも当たりである確率と$2$本ともはずれである確率が同じであった．このとき，$n$の値は$\text{③}$である．

(4)　少なくとも$1$本が当たりである確率が${\displaystyle \frac{7}{9}}$であった．このときの$n$の値は$\text{④}$である．

(5)　$2$本ともはずれである確率が$1$本だけ当たりである確率よりも大きくなるときの最小の$n$の値は$\text{⑤}$である．