2021　関西学院大　文系学部全学日程2月2日実施MathJax

(1)　$2$つの実数$x\text{，}$$y$は関係式$x^2-xy+y^2=2$を満たしながら動くとする．このとき，$x+y-xy$の最大値を求めよう．$s=x+y$とおくとき，$xy$を$s$の式で表すと$xy=\text{ア}$である．また，$s$の取りうる値の範囲は，$\text{イ}\leqq s\leqq \text{ウ}$である．したがって$x+y-xy$の最大値は$\text{エ}$である．

(2)　袋の中に白玉が$4$個と赤玉が$6$個入っている．この袋から，以下の手順にしたがって玉を取り出す．ただし，取り出した玉は袋に戻さないものとする．

(ⅰ)で取り出した$2$個の玉が同じ色である確率は$\text{オ}$であり，$4$個の玉を取り出して終了になる確率は$\text{カ}$である．また，$4$個以上の玉を取り出して終了したとき，$3$回目に袋から取り出した玉が赤玉である条件付き確率は$\text{キ}$である．ただし，$\text{オ}\text{，}$$\text{カ}\text{，}$$\text{キ}$は既約分数とする．

(1)　$xy$平面において，連立不等式

$x\geqq 0\text{，}$$y\geqq 0\text{，}$$x+2y\leqq 30\text{，}$$5x+2y\leqq 66$

の表す領域を$D$とする．点$(x,y)$が領域$D$を動くとき$kx+y$の最大値を求めよう．ただし，$k$は$1\leqq k\leqq 3$を満たす実数である．$1\leqq k\leqq \text{ア}$のとき，$kx+y$の最大値を$k$を用いて表すと$\text{イ}$であり，$\text{ア}\leqq k\leqq 3$のとき．$kx+y$の最大値を$k$を用いて表すと$\text{ウ}$である．

(2)　四面体$\mathrm{OABC}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき，$\left|\overrightarrow{a}\right|=2\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|=\sqrt{3}\text{，}$$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=2$であるとする．また，辺$\mathrm{AB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{D}\text{，}$線分$\mathrm{CD}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{E}$とする．このとき，線分$\mathrm{OD}$の長さは$\mathrm{OD}=\text{エ}$であり，$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表すと$\overrightarrow{\mathrm{OE}}=\text{オ}$である．さらに，線分$\mathrm{OD}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{F}$とし，線分$\mathrm{CF}$と線分$\mathrm{OE}$との交点を$\mathrm{G}$とすると，${\displaystyle \frac{\mathrm{OG}}{\mathrm{OE}}}=\text{カ}$であり，$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表すと$\overrightarrow{\mathrm{OG}}=\text{キ}$である．

$f(x)=-x^3+a{x}^2+{\displaystyle {\int }_{-1}^1}f(t)\mathit{dt}$

を満たしているとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　定積分${\displaystyle {\int }_{-1}^1}f(t)\mathit{dt}$を$a$の式で表せ．

(2)　関数$f(x)$の極小値が$-2$であるとき，$a$の値と$f(x)$の極大値を求めよ．

(3)　$a$は(2)で求めた値であるとする．このとき，曲線$y=f(x)$と直線$y=-x-2$の共有点の$x$座標のうち，最も小さい値を$\alpha$とし，最も大きい値を$\beta$とする．${\alpha }^2+{\beta }^2$の値を求めよ．

(4)　$a$は(2)で求めた値であるとする．このとき，曲線$y=f(x)$と直線$y=-x-2$で囲まれる$2$つの部分の面積の和を求めよ．