2021　関西学院大　文，法学部2月3日実施MathJax

(1)　$p$を実数とし，$x$の関数

$y=-p{x}^2+2px-2p^2-p+9$$\text{（}0\leqq x\leqq 1\text{）}$

の最大値を$M$とする．$p=-1$のとき，$M$の値は$M=\text{ア}$である．$p<0$のとき，$M$を$p$を用いて表すと$M=\text{イ}$であり，$p\geqq 0$のとき，$M$を$p$を用いて表すと$M=\text{ウ}$である．よって$M$を$p$の関数と考えたとき，$M$の取りうる値の範囲は$M\leqq \text{エ}$である．

(2)　$2$つのサイコロを同時に投げ，出た目の和が$7$になれば勝ちとなるゲームをおこなう．このゲームを$5$回おこなうとき$2$回勝つ確率は$\text{オ}$である．このゲームを$20$回おこなって$k$回勝つ確率を$p_k$とする．$1\leqq k\leqq 20$とするとき${\displaystyle \frac{p_k}{p_{k-1}}}$を$k$の式で表すと，${\displaystyle \frac{p_k}{p_{k-1}}}=\text{カ}$である．したがって，$p_k$の値が最大となるのは$k=\text{キ}$のときである．

(1)　$a\text{，}$$b$を実数とする．$x$の整式$x^4+ax+a+b$を$x^2+x+2$で割ると余りが$2x+1$である．このとき，$a=\text{ア}\text{，}$$b=\text{イ}$であり，$P(x)={(x^4+ax+a+b)}^3$を$x^2+x+2$で割ると余りは$\text{ウ}$である．また，$P\left({\displaystyle \frac{-1+\sqrt{7}i}{2}}\right)$の値は$P\left({\displaystyle \frac{-1+\sqrt{7}i}{2}}\right)=\text{エ}$である．ただし$i$は虚数単位である．

(2)　座標空間に$3$点$\mathrm{O}$$(0,0,0)\text{，}$$\mathrm{A}$$(0,1,1)\text{，}$$\mathrm{B}$$(2,2,0)$と点$\mathrm{P}$がある．点$\mathrm{P}$は$\mathrm{▵OAB}$の内部にあり，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$は垂直で，$\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|=1$であるとする．このとき，実数$s\text{，}$$t$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$と表すと，$s=\text{オ}\text{，}$$t=\text{カ}$である．また，$\mathrm{▵OPB}$の面積は$\text{キ}$である．ただし，答えは$2$重根号を含まない形で表せ．

(1)　$a$の取りうる値の範囲を求めよ．

(2)　関数$g(x)-f(x)$の最大値と，そのときの$x$の値を$a$を用いて表せ．

(3)　(2)で求めた$g(x)-f(x)$の最大値を$h(a)$とおく．$h(a)$の最大値と，そのときの$a$の値を求めよ．

(4)　$a$を(3)で求めた値とする．このとき，曲線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$で囲まれた部分の面積を求めよ．