2021　関西学院大　理系学部全学日程2月2日実施MathJax

【１】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　複素数$z$が$z^2=-3+4i$を満たすとき$z$の絶対値は$\text{ア}$であり，$z$の共役複素数$\bar{z}$を$z$を用いて表すと$\bar{z}={\displaystyle \frac{\text{イ}}{z}}$である（ただし$i$は虚数単位）．また，${(z+\bar{z})}^2$の値は$\text{ウ}$である．

【１】　　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　${\displaystyle \frac{3}{1-x^4}}={\displaystyle \frac{A}{1-x}}+{\displaystyle \frac{B}{1+x}}+{\displaystyle \frac{C}{1+x^2}}$が$x$についての恒等式となるような定数$A\text{，}$$B\text{，}$$C$の値は，$A=\text{エ}\text{，}$$B=\text{オ}\text{，}$$C=\text{カ}$である．

【１】　　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(3)　関数$y={\left({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}\right)}^{4x}-{\displaystyle \frac{4}{3^x}}+3$について，${\displaystyle \frac{1}{3^x}}=t$とおいて，$y$を$t$を用いて表すと$y=\text{キ}$である．関数$y$の最小値は$\text{ク}$であり，そのときの$t$の値は$t=\text{ケ}$である．また，方程式${\left({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}\right)}^{4x}-{\displaystyle \frac{4}{3^x}}+4=0$の解は$x=\text{コ}$である．

【２】　　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

　袋に白玉$2$個と赤玉$1$個が入っている．この袋から玉を$1$個取り出して元に戻す操作を繰り返し行い，$2$回続けて赤玉を取り出したときこの操作を終了する．操作がちょうど$n$回目で終了となる確率を$P_n$とし，操作が$n$回以上繰り返される確率を$Q_n$とする．

(1)　$P_2=\text{ア}\text{，}$$P_3=\text{イ}\text{，}$$P_4=\text{ウ}\text{，}$$P_5=\text{エ}$である．

(2)　$Q_2=\text{オ}\text{，}$$Q_3=\text{カ}\text{，}$$Q_4=\text{キ}\text{，}$$Q_5=\text{ク}$である．

(3)　$n\geqq 2$のとき，$Q_n-Q_{n-1}$を$P_{n-1}$を用いて表すと$Q_n-Q_{n-1}=\text{ケ}$となる．

(4)　$n\geqq 4$のとき，$P_{n-1}$を$Q_{n-3}$を用いて表すと$P_{n-1}=\text{コ}$となる．

【３】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

　$a$を$a>{\displaystyle \frac{1}{2}}$を満たす実数の定数とする．$f(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}$とし，曲線$y=f(x)$$\text{（}x>0\text{）}$を$C$とする．点$\mathrm{A}$$(a,2)$を通る傾きが$-1$の直線$l$と曲線$C$の交点を$\mathrm{P}$$(p,f(p))\text{，}$$\mathrm{Q}$$(q,f(q))$$\text{（}p<q\text{）}$とする．また，点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$における曲線$C$の接線をそれぞれ$m\text{，}$$n$とし，$m$と$n$の交点を$\mathrm{R}$とする．

(1)　$a={\displaystyle \frac{4}{3}}$のとき，$p=\text{ア}\text{，}$$q=\text{イ}$である．また，このとき直線$l$と曲線$C$で囲まれた部分の面積は$\text{ウ}$であり，直線$m$の方程式は$y=\text{エ}$である．

(2)　線分$\mathrm{PQ}$の中点$\mathrm{M}$の座標を$a$を用いて表すと，$\text{オ}$である．

(3)　点$\mathrm{R}$の座標が$({\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{1}{2}})$であるとき，$p\text{，}$${\displaystyle \frac{q}{p}}\text{，}$$a$の値は$p=\text{カ}\text{，}$${\displaystyle \frac{q}{p}}=\text{キ}\text{，}$$a=\text{ク}$である．また，このとき，直線$l$と曲線$C$で囲まれた部分の積は$\text{ケ}$であり，三角形$\mathrm{PQR}$の面積は$\text{コ}$である．

【４】　座標空間内に$4$点$\mathrm{A}$$(1,1,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(2,0,1)\text{，}$$\mathrm{C}$$(0,1,2)\text{，}$$\mathrm{D}$$(0,-1,0)$をとるとき，次の問いに答えよ．

(1)$\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|$および内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$を求めよ．また三角形$\mathrm{ABC}$の面積を求めよ．

(2)　$s\text{，}$$t$を$0$より大きく$1$より小さい実数とし，線分$\mathrm{AB}$を$t:1-t$に内分する点を$\mathrm{P}\text{，}$線分$\mathrm{CD}$を$s:1-s$に内分する点を$\mathrm{Q}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$s\text{，}$$t$を用いて表せ．また$s$と$t$が$0$より大きく$1$より小さい実数を動くとき，$\left|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\right|$の最小値とそのときの$s\text{，}$$t$の値を求めよ．

(3)　点$\mathrm{D}$から$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$を通る平面に垂線$\mathrm{DH}$を下ろすとき，点$\mathrm{H}$の座標を求めよ．