2021　関西学院大　経済，国際，総合政策学部個別日程2月4日実施MathJax

【１】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　$a$を定数とし，関数

$y=x^2+ax+2a$$\text{（}a-1\leqq x\leqq a+1\text{）}$

の最小値を$m$とする．$a={\displaystyle \frac{2}{3}}$のとき，$m$の値は$m=\text{ア}$である．$a\geqq {\displaystyle \frac{2}{3}}$のとき，$m$を$a$を用いて表すと$m=\text{イ}$であり，$-{\displaystyle \frac{2}{3}}\leqq a\leqq {\displaystyle \frac{2}{3}}$のとき，$m$を$a$を用いて表すと$m=\text{ウ}$であり，$a\leqq -{\displaystyle \frac{2}{3}}$のとき，$m$を$a$を用いて表すと$m=\text{エ}$である．

【１】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　$3$つの箱$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$の中にそれぞれくじが入っている．箱$\mathrm{A}$のくじには$3\mathrm{\%}\text{，}$箱$\mathrm{B}$のくじには$4\mathrm{\%}\text{，}$箱$\mathrm{C}$のくじには$5\mathrm{\%}$の当たりくじが含まれている．箱$\mathrm{A}$のくじと箱$\mathrm{B}$のくじと箱$\mathrm{C}$のくじを，$5:3:2$の割合で混ぜた大量のくじの中からくじを$1$つ取り出す．

(ⅰ)　取り出したくじが当たりである確率は$\text{オ}$である．

(ⅱ)　取り出したくじが当たりであったとき，そのくじが箱$\mathrm{A}$のくじである条件付き確率は$\text{カ}$である．

(ⅲ)　取り出したくじがはずれであったとき，そのくじが$\mathrm{A}$または箱$\mathrm{B}$のくじである条件付き確率は$\text{キ}$である．

【２】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　座標平面上の点$(5,2)$を中心とする半径$2$の円を$C$とし，点$(5,5)$を中心とする半径$1$の円を$D$とする．直線$l$は点$(-5,0)$を通り，傾きが$m$の直線で，円$C$と共有点をもつとする．このとき，$m$の取りうる値の範囲は$\text{ア}\leqq m\leqq \text{イ}$である．また，円$D$と外接し，$x$軸と接する円の中心を$\mathrm{P}$$(x,y)$とするとき，$y$を$x$の式で表すと$y=\text{ウ}$である．さらに，直線$l$が曲線$y=\text{ウ}$と共有点をもつとき，$m$の取りうる値の範囲は$\text{エ}\leqq m\leqq \text{イ}$である．

【２】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　数列$\{a_n\}$は初項が$-24\text{，}$公差が$d$の等差数列である．ただし$d>0$とする．

(ⅰ)　数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とする．$S_{11}=0$であるとき，$d=\text{オ}$である．

(ⅱ)　$T_n$を次のように定義する．

$T_n={a_1}^2-{a_2}^2+{a_3}^2-{a_4}^2$$+\cdots +{a_{2n-1}}^2$$-{a_{2n}}^2$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

$T_n$を$d\text{，}$$n$を用いて表すと$T_n=\text{カ}$である．また，$d=6$のとき，$T_n<0$となる最小の$n$は$n=\text{キ}$である．

【３】　関数$f(x)=x^3-6x^2+9x-3$の導関数を$g(x)$とおく．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　関数$f(x)$の極大値を与える$x$の値を$\alpha$とし，$f(x)$の極小値を与える$x$の値を$\beta$とする．$\alpha \text{，}$$\beta$を求めよ．

(2)　$\alpha \text{，}$$\beta$を(1)で求めた値とする．放物線$y=g(x)$を，その頂点が$(\alpha ,f(\alpha ))$となるように平行移動して得られる放物線を$C_1$とし，放物線$y=g(x)$を，その頂点が$(\beta ,f(\beta ))$となるように平行移動して得られる放物線を$C_2$とする．$C_1$と$C_2$の交点の座標を求めよ．

(3)　$C_1\text{，}$$C_2$を(2)で定めた放物線とする．$l$を$C_1$と$C_2$の両方に接する直線とするとき，$l$の方程式を求めよ．

(4)　$C_1\text{，}$$C_2$を(2)で定めた放物線，$l$を(3)で求めた直線とする．放物線$C_1\text{，}$$C_2$および直線$l$で囲まれた部分の面積を求めよ．