2021　関西学院大　文系関学独自方式2月5日実施MathJax

【１】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　$a$を正の実数とする．関数$y=|3x^2-4ax|+2a-6$の$0<x<a$における最大値を$a$を用いて表すと$\text{ア}$ある．また，$y=|3x^2-4ax|+2a-6$のグラフと$x$軸との共有点の個数が$3$個であるとき，$a$の値は$a=\text{イ}$であり，$y=|3x^2-4ax|+2a-6$のグラフと$x$軸との共有点の個数が$4$個であるとき，$a$の取りうる値の範囲は$\text{イ}<a<\text{ウ}$である．

【１】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　箱の中に$1$から$12$までの数が記されたカードがそれぞれ$1$枚ずつ，合計$12$枚ある．この箱の中から同時に$3$枚のカードを取り出し，取り出したカードに記された$3$つの数を小さい順に記録する．このとき，記録した$3$つの数が$3$つの連続した数である確率は$\text{エ}$であり，$3$つの数のうち$2$つの数だけが連続している確率は$\text{オ}$であり，どの$2$つの数も連続していない確率は$\text{カ}$である．また，$3$つの数のうちどの$2$つの数も連続していなかったとき，$3$つの数がすべて素数である条件付き確率は$\text{キ}$である．ただし，$\text{エ}\text{，}$$\text{オ}\text{，}$$\text{カ}\text{，}$$\text{キ}$はすべて既約分数で答えよ．

【２】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　$a$を実数とする．$xy$平面において，$x^2+y^2-2\sqrt{3}ax-2ay+4a^2-2=0$の表す円を$C$とする．$a$がすべての実数値をとって変化するとき，円$C$の中心の軌跡の方程式は$\text{ア}$である．また，原点$(0,0)$と直線$x-\sqrt{3}y-3=0$の距離は$\text{イ}$である．不等式$(x-\sqrt{3}y-3)(x^2+y^2-9)\geqq 0$の表す領域を$A$とし，不等式$x^2-y^2-2\sqrt{3}ax-2ay+4a^2-2\leqq 0$の表す領域を$B$とする．$A\cap B=B$であるとき，$a$の取りうる値の範囲は$\text{ウ}\leqq a\leqq \text{エ}$である．

【２】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　数列$\{a_n\}$は

$a_1=1\text{，}$$a_n(3S_n+2)=3{S_n}^2$$\text{（}n=2\text{，}3\text{，}4\text{，}\cdots \text{）}$

を満たしているとする．ここで，$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$である．$a_2$の値は$a_2=\text{オ}$である．$T_n={\displaystyle \frac{1}{S_n}}$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$とおくとき，$T_n$を$n$の式で表すと$T_n=\text{カ}$であり，$n\geqq 2$のとき$a_n$を$n$の式で表すと$a_n=\text{キ}$である．

【３】　関数$f(x)=x^3+{\displaystyle \frac{3}{2}}{x}^2-6x$について，次の問いに答えよ．

(1)　関数$f(x)$の極値をすべて求めよ．

(2)　方程式$f(x)=a$が異なる$3$つの実数解をもつとき，定数$a$の取りうる値の範囲を求めよ．

(3)　$a$が(2)で求めた範囲にあるとし，方程式$f(x)=a$の$3$つの実数解を$\alpha \text{，}$$\beta \text{，}$$\gamma$$\text{（}\alpha <\beta <\gamma \text{）}$とする．$t={(\alpha -\gamma )}^2$とおくとき，$t$を$\alpha \text{，}$$\gamma \text{，}$$a$を用いず$\beta$のみの式で表し，その取りうる値の範囲を求めよ．