2021　関西学院大　社会,法学部個別日程2月7日実施MathJax

(1)　$k$を実数とし，$2$次方程式$2x^2+kx+13-k=0$の$2$つの解を$\alpha \text{，}$$\beta$とする．$\alpha ={\displaystyle \frac{3-\sqrt{7}}{2}}$であるとき，$k$の値は$k=\text{ア}$である，またこのとき，$\beta$の値は$\beta =\text{イ}$であり．${\alpha }^3-{\beta }^3$の値は${\alpha }^3-{\beta }^3=\text{ウ}$である．ただし，答えが分数の場合は分母に根号を含まない形で答えよ．また，答えは$2$重根号を含まない形で答えよ．

(2)　$2$つの整数$a\text{，}$$b$が$13a-16b=1$を満たしているとする．このとき，$a$を$16$で割ると余りは$\text{エ}$であり，$b$を$13$で割ると余りは$\text{オ}$である．$a$と$b$の最小公倍数が$1110$であるとき，$a$の値は$a=\text{カ}$であり，$b$の値は$b=\text{キ}$である．

(1)　$m<3{\log }_{2}5<m+1$を満たす白然数$m$は$m=\text{ア}$であり，

$2^n<2000<2^{n+1}$

を満たす自然数$n$は$n=\text{イ}$である．また，

${\displaystyle \frac{M{\log }_{2}5}{{\log }_{2}2000}}<3$

を満たす自然数$M$のうち最大のものは$\text{ウ}$である．

(2)　座標空間内に$3$点$\mathrm{O}$$(0,0,0)\text{，}$$\mathrm{A}$$(3,-1,5)\text{，}$$\mathrm{B}$$(-1,1,-1)$と点$\mathrm{C}$があり，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$はいずれも$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$と垂直で，$\left|\overrightarrow{\mathrm{OC}}\right|=2\sqrt{6}$であるとする．ただし，点$\mathrm{C}$の$x$座標は正であるとする．このとき，点$\mathrm{C}$の座標は$\text{エ}$である．また，$\cos \mathrm{\angle ACB}=\text{オ}$であり，$\mathrm{▵ABC}$の面積は$\text{カ}$である．さらに，点$\mathrm{O}$から平面$\mathrm{ABC}$に垂線$\mathrm{OH}$を下ろすと，垂線$\mathrm{OH}$の長さは$\mathrm{OH}=\text{キ}$である．

(1)　関数$f(x)$の極値を与える$x$の値を$a$を用いて表せ．

(2)　曲線$y=f(x)$と放物線$y=g(x)$が異なる$2$個の共有点をもつとき，$a$の値を求めよ．

(3)　$a$を(2)で求めた値とする．このとき，曲線$y=f(x)$と放物線$y=g(x)$で囲まれた図形の面積を求めよ．