2021　西南学院大学　神,法,外国語学部MathJax

【１】

1.　$x$が$-x^2+3x=3$を満たすとき，$3x^3-8x^2+6x+15$の値は，$\text{アイ}$となる．

【１】

2.　${\displaystyle \frac{1633}{2231}}$を既約分数にすると${\displaystyle \frac{\text{ウエ}}{\text{オカ}}}$である．

【１】

3.　円$x^2-4x+y^2+4y-8=0$の中心を点$\mathrm{P}$とし，その円と直線$y=x-2$の$2$つの交点を点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$とする．このとき，点$\mathrm{P}$と直線までの距離は$\sqrt{\text{キ}}$となり，線分$\mathrm{AB}$の長さは$\text{ク}\sqrt{\text{ケコ}}$となる．

【１】

4.　$1\leqq x\leqq 5$のとき，関数$y={({\log }_{5}x)}^2+8{\log }_{\frac{1}{25}}5x+{\log }_{5}25$は，$x=\text{サ}$のとき最大値$\text{シス}\text{，}$$x=\text{セ}$のとき最小値$\text{ソタ}$をとる．

【２】

1.　放物線$C\text{：}y=-x^2+3x+4$と直線$l\text{：}y=mx$について，次の問に答えよ．ただし，$m>0$とする．

(1)　$C$と$x$軸とで囲まれた図形の面積は${\displaystyle \frac{\text{チツテ}}{\text{ト}}}$である．

(2)　$C$と$x$軸の$2$つの共有点を$\mathrm{A}$$(a,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(b,0)\text{，}$$C$と$l$の$2$つの共有点を$\mathrm{Q}$$(\alpha ,\alpha m)\text{，}$$\mathrm{R}$$(\beta ,\beta m)\text{，}$原点を$\mathrm{O}$とする．ただし，$a<b\text{，}$$\alpha <\beta$とする．

　線分$\mathrm{OQ}\text{，}$線分$\mathrm{OA}\text{，}$および$C$で囲まれた図形の面積と，線分$\mathrm{OR}\text{，}$線分$\mathrm{OB}\text{，}$および$C$で囲まれた図形の面積が等しいとき，$m$の値は$\text{ナ}$となる．

【２】

2.　$4$つの点$(5,2,-3)\text{，}$$(0,-1,1)\text{，}$$(2,0,2)\text{，}$$(2,t,1-t)$が同一平面上にあるとき，$t={\displaystyle \frac{\text{ニ}}{\text{ヌネ}}}$である．

【３】　以下の問に答えよ．ただし，任意の自然数$m$に対して${}_{m}C_0=1\text{，}$$0!=1$とする．

(1)　$m$は自然数，$k$は$0\leqq k\leqq m$を満たす整数とするとき，${}_{m}C_k$を階乗の記号$!$を用いて表せ．

(2)　$m$は自然数，$k$は$1\leqq k\leqq m$を満たす整数とするとき，次の式が成り立つことを証明せよ．

${}_{m+1}C_k={}_{m}C_k+{}_{m}C_{k-1}$

(3)　任意の自然数$n$に対して，次の式が成り立つことを数学的帰納法により証明せよ．

${(a+b)}^n={\displaystyle \sum _{k=0}^n}{}_{m}C_k{a}^{n-k}{b}^k$

　証明においては，任意の自然数$m$に対して次の$3$つの関係式(A)，(B)，(C)が成り立つことを用いてもよい．