2021　福岡大学　系統別日程理，工学系統2月2日実施MathJax

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　文字列$\text{「}\mathrm{ABBABC}\text{」}$を並び替えてできる$6$文字の文字列の総数は$\text{(1)}$である．文字列$\text{「}\mathrm{ABBABC}\text{」}$から$5$文字を取り出し，それらを並び替えてできる$5$文字の文字列の総数は$\text{(2)}$である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　$0<\alpha <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{，}$$0<\beta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲で$\alpha$と$\beta$が$\tan \alpha +\tan \beta =2\sqrt{2}-2\text{，}$$\tan \alpha \tan \beta =3-2\sqrt{2}$をともにみたすとき，$\alpha +\beta =\text{(3)}$であり，また，同じ範囲の$\alpha$と$\beta$が$\tan \alpha \tan \beta =1$をみたすとき，$\alpha +\beta =\text{(4)}$である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅲ)　$1$辺の長さが$6$の正四面体$\mathrm{ABCD}$の辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{P}\text{，}$辺$\mathrm{AC}$上に点$\mathrm{Q}$を$\mathrm{AP}=2\text{，}$$\mathrm{AQ}=3$となるようにとる．このとき，線分$\mathrm{PQ}$の長さは$\text{(5)}$であり，$\mathrm{▵DPQ}$の面積は$\text{(6)}$である．

【２】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　初項が$100\text{，}$公差が$-7$である等差数列$\{a_n\}$に対し，初項から第$n$項までの和を$S_n$とする．$S_n$が最大となる$n$を$m$とおくとき，$m=\text{(1)}$であり，${\displaystyle \sum _{k=1}^m}{\displaystyle \frac{1}{a_k{a}_{k+1}}}=\text{(2)}$である．

【２】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　複素数$z$は等式$|z-(3+i)|=2$をみたしている．このとき，$z$の絶対値$\left|z\right|$の最大値は$\text{(3)}$である．また，複素数平面上で，$w=(4-3i)z+1$をみたす点$w$の全体は，半径が$10$である円を描くが，その円の中心を表す複素数は$\text{(4)}$である．ただし，$i$は虚数単位とする．

【３】　関数$f(x)=x+\sin 2x$$\text{（}0\leqq x\leqq \pi \text{）}$について次の問に答えよ．

(ⅰ)　関数$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．

(ⅱ)　定積分${\displaystyle {\int }_0^{\pi }}{f(x)}^2\mathit{dx}$の値を求めよ．