2021　福岡大学　系統別医（医学科）学部2月2日実施MathJax

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　$1$とは異なる$2$つの正の数$x\text{，}$$y$が$\{\begin{array}{l}{x}^{x+y}=y^{10}\\ y^{x+y}=x^{90}\end{array}$をみたすとき，$x+y=\text{(1)}$であり，さらに$(x,y)=\text{(2)}$である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　$2$つの関数$f(x)\text{，}$$g(x)$を$f(x)=x^2-2x+3\text{，}$$g(x)=2x^2+6x-1$と定める．このとき，$f(x)\geqq g(x)$をみたす$x$の値の範囲は$\text{(3)}$である．関数$h(x)=\min \{f(x),g(x)\}$は，$x$に対して$f(x)$と$g(x)$のうち，大きくない方を値にもつ関数を表すとする．$x$が$-2\leqq x\leqq 2$の範囲にあるとき，$h(x)$の最大値を$M\text{，}$最小値を$m$とする．このとき$(M,m)=\text{(4)}$である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅲ)　$1$辺の長さが$1$の正六角形$\mathrm{OABCDE}$において，線分$\mathrm{AC}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{P}$とする．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を用いて表すと$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\text{(5)}$である．また，$\mathrm{▵OBP}$の面積は$\text{(6)}$である．

【２】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　点$(x,y)$が不等式$|x-1|+|y+1|\leqq 1$をみたすように動くとき，$x^2-{\displaystyle \frac{1}{2}}x-y$の最大値は$\text{(1)}$であり，最小値は$\text{(2)}$である．

【２】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　自然数$a$と$b$が次の$2$条件

・$a>b\text{，}$

・$a\text{，}$$b$の最大公約数は$10\text{，}$最小公倍数は$140$

をみたすとき，$(a,b)$をすべて求めると$(a,b)=\text{(3)}$である．また，自然数$a\text{，}$$b\text{，}$$c$が上の$2$条件に加えて次の$3$条件

・$b>c\text{，}$

・$a\text{，}$$b\text{，}$$c$の最大公約数は$2\text{，}$

・$b\text{，}$$c$の最小公倍数は$60$

をみたすとき，組$(a,b,c)$をすべて求めると$(a,b,c)=\text{(4)}$である．

【３】　関数$f(x)=e^{-x}\sin x$について，次の問に答えよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．

(ⅰ)　$x$が$x\geqq 0$の範囲にあるとき，$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．

(ⅱ)　部分積分法を繰り返し用いて定積分

$V_n={\displaystyle {\int }_0^{2n\pi }}|f(x\left)\right|\mathit{dx}\text{，}$$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$

の値を求めよ．さらに極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{V}_n$を求めよ．