2021　福岡大学　前期理，薬学部2月3日実施MathJax

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　方程式${\log }_{x}9={\log }_9{\displaystyle \frac{x}{27}}$をみたす$x$の値は$x＝\text{(1)}$である．

　また，不等式$2\cdot 4^{1-x}+9\cdot 2^{1-x}\geqq 5$をみたす$x$の値の範囲は$\text{(2)}$である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　$x={\displaystyle \frac{\sqrt{11}+\sqrt{7}}{2}}$とするとき，$x^2+{\displaystyle \frac{1}{x^2}}=\text{(3)}$である．また，$x^4$の整数部分は$\text{(4)}$である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅲ)　$a$を実数とする．座標平面上に$3$点$\mathrm{A}$$(1,-1)\text{，}$$\mathrm{B}$$(2,2)\text{，}$$\mathrm{C}$$(a-1,a^2)$をとる．このとき，点$\mathrm{C}$と直線$\mathrm{AB}$の距離を$a$を用いて表すと$\text{(5)}$である．また，$\mathrm{▵ABC}$の面積の最小値は$\text{(6)}$である．

【２】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　$x$と$y$を正または$0$の整数とするとき，$x+2y=9$をみたす整数の組$(x,y)$は全部で$\text{(1)}$個ある．これより，$9$段ある階段を一度に$1$度か$2$段ずつ上がるとすると，全部で$\text{(2)}$通りの上がり方がある．

【２】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　数列$\{a_n\}$を$a_1=3\text{，}$$a_2=9\text{，}$$a_{n+2}{a}_n^3=a_{n+1}^4\text{，}$$n=1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots$により定める．このとき$b_n={\log }_3{a}_n$とおいて$b_{n+1}-b_n$を$n$の式で表すと$\text{(3)}$である．これより$a_n$を求めると$a_n=\text{(4)}$である．

【３】　次の問に答えよ．

(ⅰ)　曲線$y=x{e}^{-x}$上の変曲点における接線の方程式を$y=ax+b$とするとき，$(a,b)$を求めよ．

(ⅱ)　$(a,b)$を(ⅰ)で求めたものとするとき，連立不等式

$y\leqq x{e}^{-x}\text{，}$$y\leqq ax+b\text{，}$$y\geqq 0$

の表す領域の面積を求めよ．

【３】　放物線$y=-x^2$を$C$とする．点$(1,3)$を通り，放物線$C$に接する直線のうち，傾きが負であるものを$m$とする．このとき，次の問に答えよ．

(ⅰ)　直線$m$の方程式を求めよ．

(ⅱ)　直線$x=1\text{，}$$x$軸，放物線$C$および直線$m$で囲まれた部分の面積を求めよ．