2021　福岡大学　前期文系2月4日実施MathJax

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　$a$を定数とする．$2$次関数$f(x)=a(4x-1)(3x-1)$の最大値が$1$であるとき，$a$の値は$\text{(1)}$であり，$f(1)$の値は$\text{(2)}$である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　$0\leqq x<\pi$とする．このとき，方程式$2{\cos }^{2}x-\sin 2x=0$を解くと$x=\text{(3)}$である．また，不等式$1\leqq \sin x-\sqrt{3}\cos x\leqq \sqrt{3}$をみたす$x$の値の範囲は$\text{(4)}$である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅲ)　$l\leqq m\leqq n$である自然数$l\text{，}$$m\text{，}$$n$が数式$lm(n-1)-(l+m)(n-1)+(n-1)=6$をみたすとき，それらの組をすべて求めると$(l,m,n)=\text{(5)}$である．

　$1$次方程式$ax-3=0$と$2$次方程式$3x^2-({\displaystyle \frac{1}{3}}a+4)x-3=0$とが共通の整数解をもつとき$a$の値は$\text{(6)}$である．

【２】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　関数$f(x)=a^2{x}^3+2a{x}^2+x+2021$の導関数$f^{\prime }(x)$が$f^{\prime }(1)=0$をみたすとき，$a=\text{(1)}$である．また，放物線$y=x^2+2x-3$と直線$y=-x-5$で囲まれる図形の面積は$\text{(2)}$である．

【２】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　サイコロを$3$回投げるとき，少なくとも$1$回は$3$以上の目が出る確率は$\text{(3)}$である．また，$3$つの出る目の和が$12$である確率は$\text{(4)}$である．

【３】　関数$f(x)=-2\cdot 9^x+16\cdot 3^x-{\displaystyle \frac{2}{9^x}}+{\displaystyle \frac{16}{3^x}}-13$について，次の問に答えよ．

(ⅰ)　$t=3^x+3^{-x}$として，$f(x)$を$t$の式で表せ．

(ⅱ)　$f(x)$の最大値とそのときの$x$の値を求めよ．