2021　福岡大学　前期工学部2月6日実施MathJax

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　自然数$a$と$b$の最大公約数と最小公倍数の和が$1296$であり，さらに$a:b=5:7$であるとする．このとき，$a=\text{(1)}$かつ$b=\text{(2)}$である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　$\mathrm{▵ABC}$において，$\mathrm{\angle A}\text{，}$$\mathrm{\angle B}\text{，}$$\mathrm{\angle C}$の大きさをそれぞれ$A\text{，}$$B\text{，}$$C$で表す．等式${\displaystyle \frac{\sin A}{12}}={\displaystyle \frac{\sin B}{11}}={\displaystyle \frac{\sin C}{3}}$が成り立っているとき，この三角形の最も小さい角の余弦の値は$\text{(3)}$である．また，この三角形の面積が$\sqrt{65}$のとき，辺$\mathrm{BC}$の長さは$\text{(4)}$である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅲ)　$\mathrm{▵OAB}$において，辺$\mathrm{OA}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{P}$とし，辺$\mathrm{AB}$を$3:5$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表すと$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\text{(5)}$である．また，辺$\mathrm{OB}$を$m:n$（ただし$m>n>0\text{）}$に外分する点を$\mathrm{R}$とするとき，$3$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$が同一直線上にあるのは，$m:n=\text{(6)}$のときである．

【２】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　$3$次方程式$x^3=1$の虚数解の$1$つを$\omega$とおく．このとき$\omega +{\displaystyle \frac{1}{\omega }}$の値は$\text{(1)}$であり，$1+\omega +{\displaystyle \frac{1}{1+\omega }}$の値は$\text{(2)}$である．

【２】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　実数$x\text{，}$$y$が$x+y=2$をみたすとき，$2^x+2^{y+1}$は$x=\text{(3)}$のとき最小となる．

　また，不等式${\log }_z(z+2)\geqq {\log }_{(z+2)}z$をみたす実数$z$の値の範囲は$\text{(4)}$である．

【３】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{1-x}{1+x^2}}$について，次の問に答えよ．

(ⅰ)　関数$f(x)$の極値を求めよ．

(ⅱ)　曲線$y=f(x)\text{，}$$x$軸および$y$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．