2021　福岡大学　後期文系MathJax

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　$a$を定数とする．$2$つの放物線$y=x^2$と$y=-x^2+4ax-4a^2+a+1$のそれぞれの頂点の間の距離を$a$を用いて表すと$\text{(1)}$であり，その最小値は$\text{(2)}$である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　$p>1$とする．$x={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{p}-1}}\text{，}$$y={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{p}+1}}$とするとき，$x+y$を$p$を用いて表すと$\text{(3)}$であり，$x^2+y^2=2$となるとき$p$の値を求めると$p=\text{(4)}$である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅲ)　$6$人が$2$人ずつ$3$つのグループに分かれる方法は$\text{(5)}$通りある．また$9$人が，$5$人，$2$人，$2$人の$3$つのグループに分かれる方法は$\text{(6)}$通りある．

【２】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　正の数$a$に対し，$2x=a^3+a^{-3}$とする．$a>1$のとき，${\log }_a(x+\sqrt{x^2-1})$の値は$\text{(1)}$である．また，$0<a<1$のとき，${\log }_a\left({\displaystyle \frac{1}{x-\sqrt{x^2-1}}}\right)$の値は$\text{(2)}$である．

【２】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　$1$辺の長さが$1$である正四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}\text{，}$辺$\mathrm{OC}$の中点を$\mathrm{N}$とする．$\mathrm{\angle OMC}=\alpha$とするとき，$\cos \alpha$の値は$\text{(3)}$であり，また$\mathrm{\angle BNM}=\beta$とするとき，$\cos \beta$の値は$\text{(4)}$である．

【３】　曲線$y=x^3-10x^2+35x+1000$について，次の問に答えよ．

(ⅰ)　曲線上の点$(5,1050)$における接線の方程式を求めよ．

(ⅱ)　この曲線と(ⅰ)で求めた接線および$2$直線$x=1\text{，}$$x=2$とで囲まれた部分の面積を求めよ．