2022 大学入学共通テスト 本試験 数学II・IIBMathJax

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2022 大学入学共通テスト 本試

数学II,IIB共通

配点15点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【1】

[1] 座標平面上に点 A (-8 ,0) をとる.また,不等式

x2+ y2-4 x-10 y+4 0

の表す領域を D とする.

(1) 領域 D は,中心が点 ( , ) 半径が の円の である.

  の解答群

0  周 1  内部 2  外部
3  周および内部 4  周および外部

 以下,点 ( , ) Q とし,方程式

x2+ y2- 4x- 10y+ 4=0

の表す図形を C とする.

(2) 点 A を通る直線と領域 D が共有点をもつのはどのようなときかを考えよう.

(ⅰ) (1)により,直線 y = は点 A を通る C の接線の一つとなることがわかる.

 太郎さんと花子さんは点 A を通る C のもう一つの接線について話している.

 点 A を通り,傾きが k の直線を l とする.

太郎:直線 l の方程式は y =k( x+8 ) と表すことができるから,これを

x2+ y2-4 x-10 y+4=0

に代入することで接線を求められそうだね.

花子: x 軸と直線 AQ のなす角のタンジェントに着目することでも求められそうだよ.

(ⅱ) 太郎さんの求め方について考えてみよう.

  y=k (x+8 ) x2 +y2- 4x-10 y+4= 0 に代入すると, x についての 2 次方程式

(k2 +1) x2 +(16 k2- 10k-4 )x +64 k2-80 k+4 =0

が得られる.この方程式が ときの k の値が接線の傾きとなる.

  の解答群

0  重解をもつ

1  異なる二つの実数解をもち,一つは 0 である

2  異なる二つの正の実数解をもつ

3  正の実数解と負の実数解をもつ

4  異なる二つの負の実数解をもつ

5  異なる二つの虚数解をもつ

(ⅲ) 花子さんの求め方について考えてみよう.

  x 軸と直線 AQ のなす角を θ ( 0<θ π2 ) とすると

tanθ=

であり,直線 y = と異なる接線の傾きは tan と表すことができる.

  の解答群

0   θ 1   2θ 2   (θ+ π2 )
3   (θ- π2 ) 4   (θ+ π) 5   (θ- π)
6   (2θ+ π2 ) 7   (2θ π 2)

(ⅳ) 点 A を通る C の接線のうち,直線 y= と異なる接線の傾きを k0 とする.このとき,(ⅱ)または(ⅲ)の考え方を用いることにより

k0=

であることがわかる.

 直線 l と領域 D が共有点をもつような k の値の範囲は である.

  の解答群

0   k>k 0 1   kk 0
2   k<k0 3   kk 0
4   0<k< k0 5   0k k0

2022 大学入学共通テスト 本試

数学II,IIB共通

配点15点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【1】

[2]  a b は正の実数であり, a1 b1 を満たすとする.太郎さんは log ab log ba の大小関係を調べることにした.

(1) 太郎さんは次のような考察をした.

 まず, log3 9= log9 3= 1 である.この場合

log3 9>log9 3

が成り立つ.

 一方, log14 =- 32 log 14 =- 23 である.この場合

log14 < log 14

が成り立つ.

(2) ここで

loga b=t

とおく.

 (1)の考察をもとにして,太郎さんは次の式が成り立つと推測し,それが正しいことを確かめることにした.

logb a= 1t

  により, である.このことにより が得られ, が成り立つことが確かめられる.

  の解答群

0   ab= t 1   at= b 2   ba= t
3   bt= a 4   ta= b 5   tb= a

  の解答群

0   a=t 1b 1   a=b 1t 2   b=t 1a
3   b=a 1t 4   t=b 1a 5   t=a 1b

(3) 次に,太郎さんは(2)の考察をもとにして

t> 1t

を満たす実数 t t0 の値の範囲を求めた.

太郎さんの考察

  t>0 ならば, の両辺に t を掛けることにより, t2> 1 を得る.このような t t>0 の値の範囲は 1 <t である.

  t<0 ならば, の両辺に t を掛けることにより, t2< 1 を得る.このような t t<0 の値の範囲は -1 <t<0 である.

 この考察により, を満たす t t0 の値の範囲は

-1<t <0 1<t

であることがわかる.

 ここで, a の値を一つ定めたとき,不等式

loga b>logb a

を満たす実数 b b>0 b1 の値の範囲について考える.

  を満たす b の値の範囲は, a>1 のときは であり, 0<a< 1 のときは である.

  の解答群

0   0<b< 1a 1<b< a 1   0<b< 1a a<b
2   1a <b< 1 1<b< a 3   1 a<b <1 a<b

  の解答群

0   0<b< a 1<b< 1a 1   0<b< a 1a <b
2   a<b< 1 1<b< 1a 3   a<b< 1 1a <b

(4)  p= 1213 q= 1211 r= 1413 とする.

 次の 0 3 のうち,正しいものは である.

  の解答群

0   logp q>logq p かつ log pr> logr p

1   logp q>logq p かつ log pr< logr p

2   logp q<logq p かつ log pr> logr p

3   logp q<logq p かつ logpr <logr p

2022 大学入学共通テスト 本試

数学II,IIB共通

配点18点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【2】

[1]  a を実数とし, f( x)= x3-6 ax+ 16 とおく.

(1)  y=f (x ) のグラフの概形は

a=0 のとき,

a<0 のとき,

である.

  については,最も適当なものを,次の 0 5 のうちから一つずつ選べ.ただし,同じものを繰り返し選んでもよい.

0 1 2
2022年共通テスト本試験数学II【2】[1]2022100000203の図 2022年共通テスト本試験数学II【2】[1]2022100000203の図 2022年共通テスト本試験数学II【2】[1]2022100000203の図
3 4 5
2022年共通テスト本試験数学II【2】[1]2022100000203の図 2022年共通テスト本試験数学II【2】[1]2022100000203の図 2022年共通テスト本試験数学II【2】[1]2022100000203の図

(2)  a>0 とし, p を実数とする.座標平面上の曲線 y =f( x) と直線 y =p 3 個の共有点をもつような p の値の範囲は < p< である.

  p= のとき,曲線 y= f( x) と直線 y= p 2 個の共有点をもつ.それらの x 座標を q r q<r とする.曲線 y =f( x) と直線 y =p が点 ( r,p) で接することに注意すると

q= オカ a12 r= a12

と表せる.

  の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい.)

0   22 a32 +16 1   -22 a3 2+16
2   42 a32 +16 3   -42 a3 2+16
4   82 a32 +16 5   -82 a32 +16

(3) 方程式 f (x) =0 の異なる実数解の個数を n とする.次の 0 5 のうち,正しいものは である.

  の解答群(解答の順序は問わない.)

0   n=1 ならば a <0 1   a<0 ならば n =1
2   n=2 ならば a< 0 3   a<0 ならば n= 2
4   n=3 ならば a >0 5   a>0 ならば n= 3

2022 大学入学共通テスト 本試

数学II,IIB共通

配点12点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【2】

[2]  b>0 とし, g( x)= x3-3 bx+ 3b2 h( x)= x3-x 2+b 2 とおく.座標平面上の曲線 y= g( x) C 1 曲線 y= h( x) C 2 とする.

  C1 C 2 2 点で交わる.これらの交点の x 座標をそれぞれ α β α<β とすると, α= β= シス である.

  αx β の範囲で C 1 C 2 で囲まれた図形の面積を S とする.また, t>β とし, βx t の範囲で C 1 C 2 および直線 x =t で囲まれた図形の面積を T とする.

 このとき

S= αβ dx

T= βt dx

S-T= α t dx

であるので

ST= チツ (2 t3 bt2 + ナニ b 2t- b 3)

が得られる.

 したがって, S=T となるのは t= b のときである.

  の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい.)

0   {g (x) +h( x) } 1   {g (x) -h( x) }
2   {h (x) -g( x)} 3   {2 g(x )+2 h( x) }
4   {2 g( x)- 2h (x) } 5   {2 h( x)-2 g( x) }
6   2g (x ) 7   2h (x )

2022 大学入学共通テスト 本試

数学II

配点20点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【3】  0θ π のとき

4cos 2θ+2 cosθ+ 3=0

を満たす θ について考えよう.

(1)  t=cos θ とおくと, t のとり得る値の範囲は -1 t1 である. 2 倍角の公式により

cos2 θ= t2-

であるから, により, t についての方程式

t 2+ t-1=0

が得られる.この方程式の解は

t= オカ 14

である.

 以下, 0θ π かつ cos θ= オカ を満たす θ α とし, 0θ π かつ cos θ= 14 を満たす θ β とする.

(2)  cosα= オカ により, α= π であることがわかる.そこで β の値について調べてみよう.

  cosβ= 14

cos π6= cos π4= cos π3=

を比較することにより, β を満たすことがわかる.

  の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい.)

0   0 1   1 2   -1
3   3 2 4   - 32 5   2 2
6   - 22 7   12 8   - 12

  の解答群

0   0<β < π6 1   π 6<β < π4
2   π4 <β< π3 3   π 3<β < π2

(3)  β の値について,さらに詳しく調べてみよう.

  2 倍角の公式を用いると

cos2 β= セソ cos4 β= チツ テト

であることがわかる.さらに,座標平面上で 4 β の動径は第 象限にあり, β を満たすことがわかる.ただし,角の動径は x 軸の正の部分を始線として考えるものとする.

  の解答群

0   0<β < π8 1   π 8<β < π6
2   π 6<β <3 16 π 3   316 π <β< π4
4   π4 <β< 516 π 5   516 π <β< π3
6   π3 <β< 38 π 7   38 π <β< 512 π
8   512 π <β< 716 π 9   716 π <β< π2

2022 大学入学共通テスト 本試

数学II

配点20点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【4】  m n を実数とし,次の二つの整式 P (x ) Q (x ) を考える.

P( x) =x4 +(m -1) x3 +5x 2+( m-3) x+n

Q( x)= x2-x+ 2

また, P( x) Q (x ) で割り切れるとし, P( x) Q (x ) で割ったときの商を R (x ) とおく.

(1)  2 次方程式 Q (x )=0 の解は

x= ± i

である.

(2)  P( x) Q (x ) で割り切れるから, n m を用いて表すと

n= m+

である.また

R( x)= x2+m x+m+

である.

(3) 方程式 R (x )=0 は異なる二つの虚数解 α β をもつとする.このとき, m のとり得る値の範囲は

キク <m<

である.また

α+β= m αβ= m+

である.

 いま, αβ (α +β) =-10 であるとする.このとき, m= であり,方程式 R (x) =0 の虚数解は

x= スセ ± i

である.

(4) 方程式 P (x )=0 の解について考える.

 異なる解が全部で 3 個になるのは, m= タチ のときであり,そのうち虚数解は 個である.

 異なる解が全部で 2 個になるのは, m= トナ のときである.

 異なる解が全部で 4 個になるのは, m の値が タチ トナ のいずれとも等しくないときであり, m< タチ <m のとき, 4 個の解のうち虚数解は 個である.

2022 大学入学共通テスト 本試

数学IIB

選択問題

配点20点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【3】 以下の問題を解答するにあたっては,必要に応じて正規分布表を用いてもよい.

 ジャガイモを栽培し販売している会社に勤務する花子さんは, A 地区と B 地区で収穫されるジャガイモについて調べることになった.

(1)  A 地区で収穫されるジャガイモには 1 個の重さが 200 g を超えるものが 25 % 含まれることが経験的にわかっている.花子さんは A 地区で収穫されたジャガイモから 400 個を無作為に抽出し,重さを計測した.そのうち,重さが 200 g を超えるジャガイモの個数を表す確率変数を Z とする.このとき Z は二項分布 B (400 ,0. アイ ) に従うから, Z の平均(期待値)は ウエオ である.

(2)  Z を(1)の確率変数とし, A 地区で収穫されたジャガイモ 400 個からなる標本において,重さが 200 g を超えていたジャガイモの標本における比率を R= Z400 とする.このとき, R の標準偏差は σ (R )= である.

 標本の大きさ 400 は十分に大きいので, R は近似的に正規分布 N (0 . アイ , ( ) 2 ) に従う.

 したがって, P( Rx) =0.0465 となるような x の値は となる.ただし, の計算においては 3 =1.73 とする.

  の解答群

0   3 6400 1   3 4 2   3 80 3   340

  については,最も適当なものを,次の 0 4 のうちから一つ選べ.

0   0.209 1   0.251 2   0.286 3   0.395

(3)  B 地区で収穫され,出荷される予定のジャガイモ 1 個の重さは 100 g から 300 g の間に分布している. B 地区で収穫され,出荷される予定のジャガイモ 1 個の重さを表す確率変数を X とするとき, X は連続型確率変数であり. X のとり得る値 x の範囲は 100 x300 である.

 花子さんは, B 地区で収穫され,出荷される予定のすべてのジャガイモのうち,重さが 200 g 以上のものの割合を見積もりたいと考えた.そのために花子さんは, X の確率密度関数 f (x ) として適当な関数を定め,それを用いて割合を見積もるという方針を立てた.

  B 地区で収穫され,出荷される予定のジャガイモから 206 個を無作為に抽出したところ,重さの標本平均は 180 g であった.図1はこの標本のヒストグラムである.

2022年共通テスト本試験数学IIB【3】2022100000207の図

図1 ジャガイモの重さの

ヒストグラム

 花子さんは図1のヒストグラムにおいて,重さ x の増加とともに度数がほぼ一定の割合で減少している傾向に着目し, X の確率密度関数 f (x ) として, 1 次関数

f( x)=a x+b 100x 300

を考えることにした.ただし, 100x 300 の範囲で f (x )0 とする.

 このとき, P( 100X 300)= であることから

10 4a+ 10 2b=

である.

 花子さんは, X の平均(期待値)が重さの標本平均 180 g と等しくなるように確率密度関数を定める方法を用いることにした.

 連続型確率変数 X のとり得る値 x の範囲が 100 x300 で,その確率密度関数が f (x ) のとき, X の平均(期待値) m

m= 100300 xf (x) dx

で定義される.この定義と花子さんの採用した方法から

m= 263 106a +4104 b=180

となる. により,確率密度関数は

f( x)= - 10 -5 x+ シス 10 -3

と得られる.このようにして得られた f (x ) は, 100x 300 の範囲で f (x) 0 を満たしており,確かに確率密度関数として適当である.

 したがって,この花子さんの方針に基づくと, B 地区で収穫され,出荷される予定のすべてのジャガイモのうち,重さが 200 g 以上のものは, % あると見積もることができる.

  については,最も適当なものを次の 0 4 のうちから一つ選べ.

0   33 1   34 2   35 3   36

2022 大学入学共通テスト 本試

数学IIB

選択問題

配点20点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【4】 以下のように,歩行者と自転車が自宅を出発して移動と停止を繰り返している.歩行者と自転車の動きについて,数学的に考えてみよう.

 自宅を原点とする数直線を考え,歩行者と自転車をその数直線上を動く点とみなす.数直線上の点の座標が y であるとき,その点は位置 y にあるということにする.また,歩行者が自宅を出発してから x 分経過した時点を時刻 x と表す.歩行者は時刻 0 に自宅を出発し,正の向きに毎分 1 の速さで歩き始める.自転車は時刻 2 に自宅を出発し,毎分 2 の速さで歩行者を追いかける.自転車が歩行者に追いつくと,歩行者と自転車はともに 1 分だけ停止する.その後,歩行者は再び正の向きに毎分 1 の速さで歩き出し,自転車は毎分 2 の速さで自宅に戻る.自転車は自宅に到着すると, 1 分だけ停止した後,再び毎分 2 の速さで歩行者を追いかける.これを繰り返し,自転車は自宅と歩行者の間を往復する.

  x=a n を自転車が n 回目に自宅を出発する時刻とし, y=bn をそのときの歩行者の位置とする.

2022年共通テスト本試験数学IIB【4】2022100000208の図

(1) 花子さんと太郎さんは,数列 { an } {b n} の一般項を求めるために,歩行者と自転車について,時刻 x において位置 y にいることを O を原点とする座標平面上の点 ( x,y ) で表すことにした.

  a1= 2 b1= 2 により,自転車が最初に自宅を出発するときの時刻と自転車の位置を表す点の座標は ( 2,0 ) であり,そのときの時刻と歩行者の位置を表す点の座標は ( 2,2 ) である.また,自転車が最初に歩行者に追いつくときの時刻と位置を表す点の座標は ( , ) である.よって

a2= b2=

である.

花子:数列 { an} {b n} の一般項について考える前に, ( , ) の求め方について整理してみようか.

太郎:花子さんはどうやって求めたの?

花子:自転車が歩行者を追いかけるときに,間隔が 1 分間に 1 ずつ縮まっていくことを利用したよ.

太郎:歩行者と自転車の動きをそれぞれ直線の方程式で表して,交点を計算して求めることもできるね.

2022年共通テスト本試験数学IIB【4】2022100000208の図

 自転車が n 回目に自宅を出発するときの時刻と自転車の位置を表す点の座標は ( an,0 ) であり,そのときの時刻と歩行者の位置を表す点の座標は ( an,b n) である.よって, n 回目に自宅を出発した自転車が次に歩行者に追いつくときの時刻と位置を表す点の座標は, an bn を用いて, ( , ) と表せる.

  の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい.)

0   an 1   bn 2   2a n
3   an+ bn 4   2b n 5   3a n
6   2an +bn 7   an+ 2bn 8   3b n

以上から,数列 { an } {b n} について,自然数 n に対して,関係式

an+ 1=a n+ bn+

bn+ 1=3 bn+

が成り立つことがわかる.まず, b1= 2 から

bn= n=1 2 3

を得る.この結果と, a1= 2 および から

an= n=1 2 3

がわかる.

  の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい.)

0   3n- 1+1 1   1 2 3n+ 12
2   3n 1+n 3   12 3 n+n 12
4   3n-1 +n2 5   12 3 n+n2 -1 2
6   23 n-1 7   52 3 n-1 -1 2
8   23 n-1+ n-1 9   52 3 n-1+ n- 32
a   23n -1+ n2-1 b   52 3 n-1+ n2- 32

(2) 歩行者が y= 300 の位置に到着するときまでに,自転車が歩行者に追いつく回数は 回である.また, 回目に自転車が歩行者に追いつく時刻は, x= シスセ である.

2022 大学入学共通テスト 本試

数学IIB

選択問題

配点20点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【5】 平面上の点 O を中心とする半径 1 の円周上に, 3 A B C があり, OA OB =- 23 および OC =- OA を満たすとする. t 0 <t<1 を満たす実数とし,線分 AB t: (1- t) に内分する点を P とする.また,直線 OP 上に点 Q をとる.

(1)  cos∠AOB = アイ である.

 また,実数 k を用いて, OQ =kOP と表せる.したがって

OQ= OA + OB

CQ = OA + OB

となる.

  OA OP が垂直となるのは, t= のときである.

  の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい.)

0   kt 1   (k- kt ) 2   (k t+1)
3   (kt -1) 4   (k-k t+1 ) 5   (kk t-1 )

 以下, t とし, ∠OCQ が直角であるとする.

(2)  ∠OCQ が直角であることにより,(1)の k

k= t

となることがわかる.

 平面から直線 OA を除いた部分は,直線 OA を境に二つの部分に分けられる.そのうち,点 B を含む部分を D 1 含まない部分を D 2 とする.また,平面から直線 OB を除いた部分は,直線 OB を境に二つの部分に分けられる.そのうち,点 A を含む部分を E 1 含まない部分を E 2 とする.

0<t< ならば,点 Q

<t<1 ならば,点 Q

  の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい.)

0   D1 に含まれ,かつ E 1 に含まれる

1   D1 に含まれ,かつ E 2 に含まれる

2   D2 に含まれ,かつ E 1 に含まれる

3   D2 に含まれ,かつ E 2 に含まれる

(3) 太郎さんと花子さんは,点 P の位置と | OQ | の関係について考えている.

  t= 12 のとき, により, | OQ |= とわかる.

太郎: t 12 のときにも, | OQ |= となる場合があるかな.

花子: | OQ | t を用いて表して, | OQ |= を満たす t の値について考えればいいと思うよ.

太郎:計算が大変そうだね.

花子:直線 OA に関して, t= 12 のときの点 Q と対称な点を R としたら, | OR |= となるよ.

太郎: OR OA OB を用いて表すことができれば, t の値が求められそうだね.

 直線 OA に関して, t= 12 のときの点 Q と対称な点を R とすると

CR = CQ

= OA + OB

となる.

  t 12 のとき, | OQ |= となる t の値は である.

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