2022　大学入学共通テスト　追試験　数学I／数学IAMathJax

【１】

［１］　$c$を実数とし，$x$の方程式

$|3x-3c+1|=(3-\sqrt{3})x-1$$\cdots \text{①}$

を考える．

(1)　$x\geqq c-{\displaystyle \frac{1}{3}}$のとき，$\text{①}$は

$3x-3c+1=(3-\sqrt{3})x-1$$\cdots \text{②}$

となる．$\text{②}$を満たす$x$は

$x=\sqrt{\text{ア}}c-{\displaystyle \frac{\text{イ}\sqrt{3}}{3}}$$\cdots \text{③}$

となる．$\text{③}$が$x\geqq c-{\displaystyle \frac{1}{3}}$を満たすような$c$の値の範囲は$\text{ウ}$である．

　また，$x<c-{\displaystyle \frac{1}{3}}$のとき，$\text{①}$は

$-3x+3c-1=(3-\sqrt{3})x-1$$\cdots \text{④}$

となる．$\text{④}$を満たす$x$は

$x={\displaystyle \frac{\text{エ}+\sqrt{3}}{\text{オカ}}}c$$\cdots \text{⑤}$

となる．$\text{⑤}$が$x<c-{\displaystyle \frac{1}{3}}$を満たすような$c$の値の範囲は$\text{キ}$である．

　$\text{ウ}\text{，}$$\text{キ}$の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい．）

(2)　$\text{①}$が異なる二つの解をもつための必要十分条件は$\text{ク}$であり，ただ一つの解をもつための必要十分条件は$\text{ケ}$である．さらに，$\text{①}$が解をもたないための必要十分条件は$\text{コ}$である．

　$\text{ク}\text{〜}$$\text{コ}$の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい．）

【１】

［２］　全体集合$U$を実数全体の集合とする．$U$の部分集合$A\text{，}$$B\text{，}$$C\text{，}$$D$を次のように定める．

　以下では，$U$の部分集合$X$に対し，$X$の補集合を$\bar{X}$と表す．

(1)　次のことが成り立つ．

・$\{2,3\}\text{サ}A\cap B$

・$5\text{シ}\bar{B}$

・$B\text{ス}\bar{C}=U$

　$\text{サ}\text{〜}$$\text{ス}$の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい．)

(2)　次のことが成り立つ．

•$x\in B\cap \bar{D}$は，$x\in \bar{A}$であるための$\text{セ}\text{．}$

•$x\in (\bar{A}\cup B)\cap D$は，$x\in C$であるための$\text{ソ}\text{．}$

　$\text{セ}\text{〜}$$\text{ソ}$の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい．）

【２】

［１］　以下の問題を解答するにあたっては，必要に応じて三角比の表を用いてもよい．

　火災時に，ビルの高層階に取り残された人を救出する際，はしご車を使用することがある．

　図１のはしご車で考える．はしごの先端を$\mathrm{A}\text{，}$はしごの支点を$\mathrm{B}$とする．はしごの角度（はしごと水平面のなす角の大きさ）は$75\mathrm{°}$まで大きくすることができ，はしごの長さ$\mathrm{AB}$は$35\mathrm{m}$まで伸ばすことができる．また，はしごの支点$\mathrm{B}$は地面から$2\mathrm{m}$の高さにあるとする．

　以下，はしごの長さ$\mathrm{AB}$は$35\mathrm{m}$に固定して考える．また，はしごは太さを無視して線分とみなし，はしご車は水平な地面上にあるものとする．

(1)　はしごの先端$\mathrm{A}$の最高到達点の高さは，地面から$\text{アイ}\mathrm{m}$である．小数第$1$位を四捨五入して答えよ．

(2)　図１のはしごは，図２のように，点$\mathrm{C}$で，$\mathrm{AC}$が鉛直方向になるまで下向きに屈折させることができる．$\mathrm{AC}$の長さは$10\mathrm{m}$である．

　図３のように，あるビルにおいて，地面から$26\mathrm{m}$の高さにある位置を点$\mathrm{P}$とする．障害物のフェンスや木があるため，はしご車を$\mathrm{BQ}$の長さが$18\mathrm{m}$となる場所にとめる．ここで，点$\mathrm{Q}$は，点$\mathrm{P}$の真下で，点$\mathrm{B}$と同じ高さにある位置である．

　このとき，はしごの先端$\mathrm{A}$が点$\mathrm{P}$に届くかどうかは，障害物の高さや，はしご車と障害物の距離によって決まる．そこで，このことについて後の(ⅰ)，(ⅱ)のように考える．

　ただし，はしご車，障害物，ビルは同じ水平な地面上にあり，点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$はすべて同一平面上にあるものとする．

(ⅰ)　はしごを点$\mathrm{C}$で屈折させ，はしごの先端$\mathrm{A}$が点$\mathrm{P}$に一致したとすると，$\mathrm{\angle QBC}$の大きさはおよそ$\text{ウ}\mathrm{°}$になる．

　$\text{ウ}$については，最も適当なものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{6}}$のうちから一つ選べ．

(ⅱ)　はしご車に最も近い障害物はフェンスで，フェンスの高さは$7\mathrm{m}$以上あり，障害物の中で最も高いものとする．フェンスは地面に垂直で$2$点$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{Q}$の間にあり，フェンスと$\mathrm{BQ}$との交点から点$\mathrm{B}$までの距離は$6\mathrm{m}$である．また，フェンスの厚みは考えないとする．

　このとき，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{6}}$のフェンスの高さのうち，図３のように，はしごがフェンスに当たらずに，はしごの先端$\mathrm{A}$を点$\mathrm{P}$に一致させることができる最大のものは，$\text{エ}$である．

　$\text{エ}$の解答群

【２】

［２］　三角形は，与えられた辺の長さや角の大きさの条件によって，ただ一通りに決まる場合や二通りに決まる場合がある．

　以下，$\mathrm{▵ABC}$において$\mathrm{AB}=4$とする．

(1)　$\mathrm{AC}=6\text{，}$$\cos \mathrm{\angle BAC}={\displaystyle \frac{1}{3}}$とする．このとき，$\mathrm{BC}=\text{オ}$であり，$\mathrm{▵ABC}$はただ一通りに決まる．

(2)　$\mathrm{AC}=3\sqrt{2}\text{，}$$\sin \mathrm{\angle BAC}={\displaystyle \frac{1}{3}}$とする．このとき，$\mathrm{BC}=\sqrt{\text{カ}}$または$\mathrm{BC}=\sqrt{\text{キク}}$であり，$\mathrm{▵ABC}$は二通りに決まる．さらに，どちらの場合も$\mathrm{▵ABC}$の面積は$\text{ケ}\sqrt{\text{コ}}$である．

(3)　$\sin \mathrm{\angle BAC}={\displaystyle \frac{1}{3}}$とする．このとき，$\mathrm{BC}$の長さのとり得る値の範囲は，点$\mathrm{B}$と直線$\mathrm{AC}$との距離を考えることにより，$\mathrm{BC}\geqq {\displaystyle \frac{\text{サ}}{\text{シ}}}$である．

　$\mathrm{BC}={\displaystyle \frac{\text{サ}}{\text{シ}}}$または$\mathrm{BC}=\text{ス}$のとき，$\mathrm{▵ABC}$はただ一通りに決まる．特に，$\mathrm{BC}={\displaystyle \frac{\text{サ}}{\text{シ}}}$のとき，$\mathrm{▵ABC}$は$\text{セ}$であり，$\mathrm{BC}=\text{ス}$のとき，$\mathrm{▵ABC}$は$\text{ソ}$である．

　また，$\mathrm{\angle ABC}=90\mathrm{°}$のとき，$\mathrm{BC}=\sqrt{\text{タ}}$である．

　したがって，$\mathrm{▵ABC}$の形状について，次のことが成り立つ．

・${\displaystyle \frac{\text{サ}}{\text{シ}}}<\mathrm{BC}<\sqrt{\text{タ}}$のとき，$\mathrm{▵ABC}$は$\text{チ}\text{．}$

・$\mathrm{BC}=\sqrt{\text{タ}}$のとき，$\mathrm{▵ABC}$は$\text{ツ}\text{．}$

・$\mathrm{BC}>\sqrt{\text{タ}}$かつ$\mathrm{BC}\ne \text{ス}$のとき，$\mathrm{▵ABC}$は$\text{テ}\text{．}$

　$\text{セ}\text{，}$$\text{ソ}$については，最も適当なものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{3}}$のうちから一つずつ選べ．ただし，同じものを繰り返し選んでもよい．

　$\text{チ}\text{〜}$$\text{テ}$の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい．）

【３】

［１］　$p$を$0$でない実数とし

$f(x)=p{x}^2+2px+p^2-3p+2$

とする．

(1)　$f(1)=p^2+\text{ア}$である．

　$2$次関数$y=f(x)$のグラフの軸は直線$x=\text{イウ}$なので，$f(x)=p^2+\text{ア}$を満たす$x$の値は$1$と$\text{エオ}$である．

(2)　方程式$f(x)=0$が$1$より小さい異なる二つの実数解をもつような$p$の値の範囲は

$\text{カ}-\sqrt{\text{キ}}<p<\text{カ}+\sqrt{\text{キ}}$

である．

(3)　方程式$f(x)=0$が$1$より小さい正の解と負の解を一つずつもつような$p$の値の範囲は

$\text{ク}<p<\text{ケ}$

である．

(4)　$m$を整数とする．方程式$f(x)=0$が異なる二つの実数解$\alpha \text{，}$$\beta$$\text{（}\alpha <\beta \text{）}$をもち，$\beta >1$とする．このとき，$p$の値に関係なくつねに$2\alpha <m$となる整数$m$の最小値は$\text{コサ}$である．

【３】

［２］　$a$を$5<a<10$を満たす実数とする．長方形$\mathrm{ABCD}$を考え，$\mathrm{AB}=\mathrm{CD}=5\text{，}$$\mathrm{BC}=\mathrm{DA}=a$とする．

　次のようにして，長方形$\mathrm{ABCD}$の辺上に$4$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}\text{，}$$\mathrm{S}$をとり，内部に点$\mathrm{T}$をとることを考える．

　辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{B}$と異なる点$\mathrm{P}$をとる．辺$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{Q}$を$\mathrm{\angle BPQ}$が$45\mathrm{°}$になるようにとる．$\mathrm{Q}$を通り，直線$\mathrm{PQ}$と垂直に交わる直線を$l$とする．$l$が頂点$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$以外の点で辺$\mathrm{CD}$と交わるとき，$l$と辺$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{R}$とする．

　点$\mathrm{R}$を通り$l$と垂直に交わる直線を$m$とする．$m$と辺$\mathrm{AD}$との交点を$\mathrm{S}$とする．点$\mathrm{S}$を通り$m$と垂直に交わる直線を$n$とする．$n$と直線$\mathrm{PQ}$との交点を$\mathrm{T}$とする．

(1)　$a=6$のとき，$l$が頂点$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$以外の点で辺$\mathrm{CD}$と交わるときの$\mathrm{AP}$の値の範囲は$0\leqq \mathrm{AP}<\text{シ}$である．このとき，四角形$\mathrm{QRST}$の面積の最大値は${\displaystyle \frac{\text{スセ}}{\text{ソ}}}$である．

　$a=8$のとき，四角形$\mathrm{QRST}$の面積の最大値は$\text{タチ}$である．

(2)　$5<a<10$とする．$l$が頂点$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$以外の点で辺$\mathrm{CD}$と交わるときの$\mathrm{AP}$の値の範囲は

$0\leqq \mathrm{AP}<\text{ツテ}-a$$\cdots \text{①}$

である．

　点$\mathrm{P}$が$\text{①}$を満たす範囲を動くとする．四角形$\mathrm{QRST}$の面積の最大値が${\displaystyle \frac{\text{スセ}}{\text{ソ}}}$となるときの$a$の値の範囲は

$5<a\leqq {\displaystyle \frac{\text{トナ}}{\text{ニ}}}$

である．

　$a$が${\displaystyle \frac{\text{トナ}}{\text{ニ}}}<a<10$を満たすとき，$\mathrm{P}$が$\text{①}$を満たす範囲を動いたときの四角形$\mathrm{QRST}$の面積の最大値は

$\text{ヌネ}{a}^2+\text{ノハ}a-\text{ヒフヘ}$

である．

【４】　国土交通省では「全国道路・街路交通情勢調査」を行い，地域ごとのデータを公開している．以下では，$2010$年と$2015$年に$67$地域で調査された高速道路の交通量と速度を使用する．交通量としては，それぞれの地域において，ある$1$日にある区間を走行した自動車の台数（以下，交通量という．単位は台）を用いる．また，速度としては，それぞれの地域において，ある区間を走行した自動車の走行距離および走行時間から算出した値（以下，速度という．単位は$\mathrm{km}/\mathrm{h}\text{）}$を用いる．

(1)　図１と図２はそれぞれ$2010$年と$2015$年の速度のヒストグラムである．なお，ヒストグラムの各階級の区間は，左側の数値を含み，右側の数値を含まない．

　図１のヒストグラムにおいて，速度の最頻値は$\text{ア}$であり，中央値が含まれる階級の階級値は$\text{イ}$である．

　図２のヒストグラムにおいて，速度の最大値が含まれる階級は$\text{ウ}$であり，最小値が含まれる階級は$\text{エ}$である．

　図１と図２のヒストグラムを比較して，$2015$年の地域数から$2010$年の地域数を引いた差の絶対値が最も大きい階級は$\text{オ}$である．

　$\text{ア}\text{，}$$\text{イ}$の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい．）

　$\text{ウ}\text{〜}$$\text{オ}$の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい．）

(2)　表１は，$2015$年の交通量と速度の平均値，標準偏差および共分散である．ただし，共分散は交通量の偏差と速度の偏差の積の平均値である．

　この表より，$\text{（標準偏差）}:\text{（平均値）}$の比の値は，小数第$3$位を四捨五入すると，交通量については$0.59$であり，速度については$\text{カ}$である．また，交通量と速度の相関係数は$\text{キ}$である．

　また，図３は，$2015$年の交通量と速度の散布図である．なお，この散布図には，完全に重なっている点はない．

　$2015$年の交通量のヒストグラムは，図３を参考にすると，$\text{ク}$である．なお，ヒストグラムの各階級の区間は，左側の数値を含み，右側の数値を含まない．また，表１および図３から読み取れることとして，後の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{5}}$のうち，正しいものは$\text{ケ}$と$\text{コ}$である．

　$\text{カ}\text{，}$$\text{キ}$については，最も適当なものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{9}}$のうちから一つずつ選べ．ただし，同じものを繰り返し選んでもよい．

　$\text{ク}$の解答群

　$\text{ケ}\text{，}$$\text{コ}$の解答群（解答の順序は問わない．）

(3)　図４は，$2010$年と$2015$年の速度の散布図である．ただし，原点を通り，傾きが$1$である直線（点線）を補助的に描いている．また，この散布図には，完全に重なっている点はない．

　$67$地域について，$2010$年より$2015$年の速度が速くなった地域群を$\mathrm{A}$群，遅くなった地域群を$\mathrm{B}$群とする．$\mathrm{A}$群の地域数は$\text{サシ}$である．

　$\mathrm{B}$群において，$2010$年より$2015$年の速度が，$5\mathrm{km}/\mathrm{h}$以上遅くなった地域数は$\text{ス}$であり，$10\mathrm{\%}$以上遅くなった地域数は$\text{セ}$である．

　$\mathrm{A}$群の$2015$年の速度については，第$1$四分位数は$81.2\text{，}$中央値は$86.7\text{，}$第$3$四分位数は$89.7$であった．次の(Ⅰ)，(Ⅱ)，(Ⅲ)は$\mathrm{A}$群と$\mathrm{B}$群の$2015$年の速度に関する記述である．

(Ⅰ)　$\mathrm{A}$群の速度の範囲は，$\mathrm{B}$群の速度の範囲より小さい．

(Ⅱ)　$\mathrm{A}$群の速度の第$1$四分位数は，$\mathrm{B}$群の速度の第$3$四分位数より小さい．

(Ⅲ)　$\mathrm{A}$群の速度の四分位範囲は，$\mathrm{B}$群の速度の四分位範囲より小さい．

　(Ⅰ)，(Ⅱ)，(Ⅲ)の正誤の組合せとして正しいものは$\text{ソ}$である．

　$\text{ソ}$の解答群

(4)　図５は$2015$年の速度の箱ひげ図である．図６は図３を再掲したものであり，$2015$年の交通量と速度の散布図である．これらの速度から$1\mathrm{km}$あたりの走行時間（分）を考える．例えば，速度が$55\mathrm{km}/\mathrm{h}$の場合は，$1$時間あたりの走行距離が$55\mathrm{km}$なので，$1\mathrm{km}$あたりの走行時間は${\displaystyle \frac{1}{55}}\times 60$の小数第$3$位を四捨五入して$1.09$分となる．

　このようにして$2015$年の速度を$1\mathrm{km}$あたりの走行時間に変換したデータの箱ひげ図は$\text{タ}$であり，$2015$年の交通量と$1\mathrm{km}$あたりの走行時間の散布図は$\text{チ}$である．なお，解答群の散布図には，完全に重なっている点はない．

　$\text{タ}$の解答群

　$\text{チ}$の解答群

【１】

［３］　三角形は，与えられた辺の長さや角の大きさの条件によって，ただ一通りに決まる場合や二通りに決まる場合がある．

　以下，$\mathrm{▵ABC}$において$\mathrm{AB}=4$とする．

(1)　$\mathrm{AC}=6\text{，}$$\cos \mathrm{\angle BAC}={\displaystyle \frac{1}{3}}$とする．このとき，$\mathrm{BC}=\text{ソ}$であり，$\mathrm{▵ABC}$はただ一通りに決まる．

(2)　$\sin \mathrm{\angle BAC}={\displaystyle \frac{1}{3}}$とする．このとき，$\mathrm{BC}$の長さのとり得る値の範囲は，点$\mathrm{B}$と直線$\mathrm{AC}$との距離を考えることにより，$\mathrm{BC}\geqq {\displaystyle \frac{\text{タ}}{\text{チ}}}$である．

　$\mathrm{BC}={\displaystyle \frac{\text{タ}}{\text{チ}}}$または$\mathrm{BC}=\text{ツ}$のとき，$\mathrm{▵ABC}$はただ一通りに決まる．

　また，$\mathrm{\angle ABC}=90\mathrm{°}$のとき，$\mathrm{BC}=\sqrt{\text{テ}}$である．

　したがって，$\mathrm{▵ABC}$の形状について，次のことが成り立つ．

・${\displaystyle \frac{\text{タ}}{\text{チ}}}<\mathrm{BC}<\sqrt{\text{テ}}$のとき，$\mathrm{▵ABC}$は$\text{ト}\text{．}$

・$\mathrm{BC}=\sqrt{\text{テ}}$のとき，$\mathrm{▵ABC}$は$\text{ナ}\text{．}$

・$\mathrm{BC}>\sqrt{\text{テ}}$かつ$\mathrm{BC}\ne \text{ツ}$のとき，$\mathrm{▵ABC}$は$\text{ニ}\text{．}$

　$\text{ト}\text{〜}$$\text{ニ}$の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい．）

【２】

［２］　国土交通省では「全国道路・街路交通情勢調査」を行い，地域ごとのデータを公開している．以下では，$2010$年と$2015$年に$67$地域で調査された高速道路の交通量と速度を使用する．交通量としては，それぞれの地域において，ある$1$日にある区間を走行した自動車の台数（以下，交通量という．単位は台）を用いる．また，速度としては，それぞれの地域において，ある区間を走行した自動車の走行距離および走行時間から算出した値（以下，速度という．単位は$\mathrm{km}/\mathrm{h}\text{）}$を用いる．

(1)　表１は，$2015$年の交通量と速度の平均値，標準偏差および共分散である．ただし，共分散は交通量の偏差と速度の偏差の積の平均値である．

　この表より，$\text{（標準偏差）}:\text{（平均値）}$の比の値は，小数第$3$位を四捨五入すると，交通量については$0.59$であり，速度については$\text{テ}$である．また，交通量と速度の相関係数は$\text{ト}$である．

　また，図１は，$2015$年の交通量と速度の散布図である．なお，この散布図には，完全に重なっている点はない．

　$2015$年の交通量のヒストグラムは，図１を参考にすると，$\text{ナ}$である．なお，ヒストグラムの各階級の区間は，左側の数値を含み，右側の数値を含まない．また，表１および図１から読み取れることとして，後の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{5}}$のうち，正しいものは$\text{ニ}$と$\text{ヌ}$である．

　$\text{テ}\text{，}$$\text{ト}$については，最も適当なものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{9}}$のうちから一つずつ選べ．ただし，同じものを繰り返し選んでもよい．

　$\text{ナ}$の解答群

　$\text{ニ}\text{，}$$\text{ヌ}$の解答群（解答の順序は問わない．）

(2)　図２は，$2010$年と$2015$年の速度の散布図である．ただし，原点を通り，傾きが$1$である直線（点線）を補助的に描いている．また，この散布図には，完全に重なっている点はない．

　$67$地域について，$2010$年より$2015$年の速度が速くなった地域群を$\mathrm{A}$群，遅くなった地域群を$\mathrm{B}$群とする．$\mathrm{A}$群の地域数は$\text{ネノ}$である．

　$\mathrm{B}$群において，$2010$年より$2015$年の速度が，$5\mathrm{km}/\mathrm{h}$以上遅くなった地域数は$\text{ハ}$であり，$10\mathrm{\%}$以上遅くなった地域数は$\text{ヒ}$である．

　$\mathrm{A}$群の$2015$年の速度については，第$1$四分位数は$81.2\text{，}$中央値は$86.7\text{，}$第$3$四分位数は$89.7$であった．次の(Ⅰ)，(Ⅱ)，(Ⅲ)は$\mathrm{A}$群と$\mathrm{B}$群の$2015$年の速度に関する記述である．

　(Ⅰ)，(Ⅱ)，(Ⅲ)の正誤の組合せとして正しいものは$\text{フ}$である．

　$\text{フ}$の解答群

(3)　図３は$2015$年の速度の箱ひげ図である．図４は図１を再掲したものであり，$2015$年の交通量と速度の散布図である．これらの速度から$1\mathrm{km}$あたりの走行時間（分）を考える．例えば，速度が$55\mathrm{km}/\mathrm{h}$の場合は，$1$時間あたりの走行距離が$55\mathrm{km}$なので，$1\mathrm{km}$あたりの走行時間は${\displaystyle \frac{1}{55}}\times 60$の小数第$3$位を四捨五入して$1.09$分となる．

　このようにして$2015$年の速度を$1\mathrm{km}$あたりの走行時間に変換したデータの箱ひげ図は$\text{ヘ}$であり，$2015$年の交通量と$1\mathrm{km}$あたりの走行時間の散布図は$\text{ホ}$である．なお，解答群の散布図には，完全に重なっている点はない．

　$\text{ヘ}$の解答群

　$\text{ホ}$の解答群

【３】　花子さんと太郎さんは，得点に応じた景品を一つもらえる，さいころを使った次のゲームを行う．ただし，得点なしの場合は景品をもらえない．

(1)　$1$回目に投げたさいころの目にかかわらず$2$回目を投げる場合を考える．$A=4$となるのは出た目の合計が$\text{ア}$または$\text{イウ}$の場合であるから，$A=4$となる確率は${\displaystyle \frac{\text{エ}}{\text{オ}}}$である．また，$A\geqq 4$となる確率は${\displaystyle \frac{\text{カ}}{\text{キ}}}$である．

(2)　花子さんは$4$点以上の景品が欲しいと思い，$A\geqq 4$となる確率が最大となるような戦略を考えた．

　例えば，さいころを$1$回投げたところ，出た目は$5$であったとする．この条件のもとでは，$2$回目を投げない場合は確実に$A\geqq 4$となるが，$2$回目を投げると$A\geqq 4$となる確率は${\displaystyle \frac{\text{ク}}{\text{ケ}}}$である．よって，この条件のもとでは$2$回目を投げない方が$A\geqq 4$となる確率は大きくなる．

　$1$回目に出た目が$5$以外の場合も，このように$2$回目を投げない場合と投げる場合を比較すると，花子さんの戦略は次のようになる．

　$1$回目に投げたさいころの目が$5$以外の場合も考えてみると，いずれの場合も$2$回目を投げたときに$A\geqq 4$となる確率は${\displaystyle \frac{\text{ク}}{\text{ケ}}}$である．このことから，花子さんの戦略のもとで$A\geqq 4$となる確率は${\displaystyle \frac{\text{サ}}{\text{シ}}}$であり，この確率は${\displaystyle \frac{\text{カ}}{\text{キ}}}$より大きくなる．

　$\text{コ}$の解答群

(3)　太郎さんは，どの景品でもよいからもらいたいと思い，得点なしとなる確率が最小となるような戦略を考えた．

　例えば，さいころを$1$回投げたところ，出た目は$3$であったとする．この条件のもとでは，$2$回目を投げない場合，得点なしとなる確率は${\displaystyle \frac{\text{ス}}{\text{セ}}}$であり，$2$回目を投げる場合，得点なしとなる確率は${\displaystyle \frac{\text{ソタ}}{\text{チツ}}}$である．よって，$1$回目に投げたさいころの目が$3$であったときは，$\text{テ}\text{．}$

　$1$回目に投げたさいころの目が$3$以外の場合についても考えてみると，太郎さんの戦略は次のようになる．

　この戦略のもとで太郎さんが得点なしとなる確率は${\displaystyle \frac{\text{ナニ}}{\text{ヌネ}}}$であり，この確率は，$1$回目に投げたさいころの目にかかわらず$2$回目を投げる場合における得点なしとなる確率より小さくなる．

　$\text{テ}$の解答群

　$\text{ト}$の解答群

【４】(1)　整数$k$が$0\leqq k<5$を満たすとする．$77k=5\times 15k+2k$に注意すると，$77k$を$5$で割った余りが$1$となるのは$k=\text{ア}$のときである．

(2)　三つの整数$k\text{，}$$l\text{，}$$m$が

$0\leqq k<5\text{，}$$0\leqq l<7\text{，}$$0\leqq m<11$

を満たすとする．このとき

${\displaystyle \frac{k}{5}}+{\displaystyle \frac{l}{7}}+{\displaystyle \frac{m}{11}}-{\displaystyle \frac{1}{385}}$$\cdots \text{①}$

が整数となる$k\text{，}$$l\text{，}$$m$を求めよう．

　$\text{①}$の値が整数のとき，その値を$n$とすると

${\displaystyle \frac{k}{5}}+{\displaystyle \frac{l}{7}}+{\displaystyle \frac{m}{11}}={\displaystyle \frac{1}{385}}+n$$\cdots \text{②}$

となる．$\text{②}$の両辺に$385$を掛けると

$77k+55l+35m=1+385n$$\cdots \text{③}$

となる．これより

$77k=5(-11l-7m+77n)+1$

となることから，$77k$を$5$で割った余りは$1$なので$k=\text{ア}$である．

　同様にして

$55l=7(-11k-5m+55n)+1$

および

$35m=11(-7k-5l+35m)+1$

であることに注意すると，$l=\text{イ}$および$m=\text{ウ}$が得られる．

　なお，$k=\text{ア}\text{，}$$l=\text{イ}\text{，}$$m=\text{ウ}$を$\text{③}$に代入すると$n=2$であることがわかる．

(3)　三つの整数$x\text{，}$$y\text{，}$$z$が

$0\leqq x<5\text{，}$$0\leqq y<7\text{，}$$0\leqq z<11$

を満たすとする．次の形の整数

$77\times \text{ア}\times x+55\times \text{イ}\times y$$+35\times \text{ウ}\times z$

を$5\text{，}$$7\text{，}$$11$で割った余りがそれぞれ$2\text{，}$$4\text{，}$$5$であるとする．このとき，$x\text{，}$$y\text{，}$$z$を求めよう．$77\times \text{ア}\times x$を$5$で割った余りが$2$であることから$x=\text{エ}$となる．同様にして$y=\text{オ}\text{，}$$z=\text{カ}$となる．

　$x\text{，}$$y\text{，}$$z$を上で求めた値として，整数$p$を

$p=77\times \text{ア}\times x+55\times \text{イ}\times y$$+35\times \text{ウ}\times z$

で定める．このとき，$5\text{，}$$7\text{，}$$11$で割った余りがそれぞれ$2\text{，}$$4\text{，}$$5$である整数$M$は，ある整数$r$を用いて$M=p+385r$と表すことができる．

(4)　整数$p$を(3)で定めたものとする．$p^a$を$5$で割った余りが$1$となる正の整数$a$のうち，最小のものは$a=4$である．また，$p^b$を$7$で割った余りが$1$となる正の整数$b$のうち，最小のものは$b=\text{キ}$となる．さらに，$p^c$を$11$で割った余りが$1$となる正の整数$c$のうち，最小のものは$c=\text{ク}$である．

　$p^8$を$385$で割った余りを$q$とするとき，$q$を求めよう．$p^8$を$5\text{，}$$7\text{，}$$11$で割った余りを利用して(3)と同様に考えると，$q=\text{ケコサ}$であることがわかる．

【５】(1)　円と直線に関する次の定理を考える．

　この定理が成り立つことは，次のように説明できる．

　直線$\mathrm{PT}$は$3$点$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}\text{，}$$\mathrm{T}$を通る円$O$に接しないとする．このとき，直線$\mathrm{PT}$は円$O$と異なる$2$点で交わる．直線$\mathrm{PT}$と円$O$との交点で点$\mathrm{T}$とは異なる点を${\mathrm{T}}^{\prime }$とすると

$\mathrm{PT}\cdot \mathrm{P}{\mathrm{T}}^{\prime }=\text{ア}\cdot \text{イ}$

が成り立つ．点$\mathrm{T}$と点${\mathrm{T}}^{\prime }$が異なることにより，$\mathrm{PT}\cdot \mathrm{P}{\mathrm{T}}^{\prime }$の値と${\mathrm{PT}}^2$の値は異なる．したがって，$\mathrm{PQ}\cdot \mathrm{PR}={\mathrm{PT}}^2$に矛盾するので，背理法により，直線$\mathrm{PT}$は$3$点$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}\text{，}$$\mathrm{T}$を通る円に接するといえる．

　$\text{ア}\text{，}$$\text{イ}$の解答群（解答の順序は問わない．）

(2)　$\mathrm{▵ABC}$において，$\mathrm{AB}={\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}$$\mathrm{BC}={\displaystyle \frac{3}{4}}\text{，}$$\mathrm{AC}=1$とする．

　このとき，$\mathrm{\angle ABC}$の二等分線と辺$\mathrm{AC}$との交点を$\mathrm{D}$とすると，$\mathrm{AD}={\displaystyle \frac{\text{ウ}}{\text{エ}}}$である．直線$\mathrm{BC}$上に，点$\mathrm{C}$とは異なり，$\mathrm{BC}=\mathrm{BE}$となる点$\mathrm{E}$をとる．$\mathrm{\angle ABE}$の二等分線と線分$\mathrm{AE}$との交点を$\mathrm{F}$とし，直線$\mathrm{AC}$との交点を$\mathrm{G}$とすると

${\displaystyle \frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AG}}}={\displaystyle \frac{\text{オ}}{\text{カ}}}\text{，}$${\displaystyle \frac{\mathrm{▵ABF}\text{の面積}}{\mathrm{▵AFG}\text{の面積}}}={\displaystyle \frac{\text{キ}}{\text{ク}}}$

である．

　線分$\mathrm{DG}$の中点を$\mathrm{H}$とすると，$\mathrm{BH}={\displaystyle \frac{\text{ケ}}{\text{コ}}}$である．また

$\mathrm{AH}={\displaystyle \frac{\text{サ}}{\text{シ}}}\text{，}$$\mathrm{CH}={\displaystyle \frac{\text{ス}}{\text{セ}}}$

である．

　$\mathrm{▵ABC}$の外心を$\mathrm{O}$とする．$\mathrm{▵ABC}$の外接円$O$の半径が${\displaystyle \frac{\text{ソ}\sqrt{\text{タチ}}}{\text{ツテ}}}$であることから，線分$\mathrm{BH}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{I}$とすると

$\mathrm{IO}={\displaystyle \frac{\text{ト}\sqrt{\text{ナ}}}{\text{ニヌ}}}$

であることがわかる．